Interpretación intuitiva de $\frac{\partial S(a,t)}{\partial t} = -\frac{\partial S(a,t)}{\partial a}$

Question

Intento visualizar lo que dice la siguiente ecuación:

$$\frac{\partial S(a,t)}{\partial t} = -\frac{\partial S(a,t)}{\partial a}$$

donde $S$ es una probabilidad-densidad, pero creo que se puede suponer cualquier otra cantidad de interés (por cierto, mi variable de interés es la susceptibilidad de una persona a una determinada enfermedad), $a$ es una variable como la edad y $t$ es el tiempo.

Entiendo que una solución sencilla para esta ecuación viene dada por $S(a,t) = c (a - t)$ . Sin embargo, después de trazar este plano, no puedo comprender intuitivamente lo que hace realmente la ecuación diferencial.

Según tengo entendido, el lado izquierdo describe la variación de $S(a,t)$ cuando cambiamos un poco el tiempo $t$ . Debe ser igual a la variación de $S(a,t)$ cuando cambiamos un poco la edad $a$ . En este ejemplo concreto, espero una reducción de $S(a,t)$ a medida que avanzamos en el tiempo (porque aquí la susceptibilidad debería disminuir cuando la gente envejece.) Por lo tanto, I signo negativo es apropiado. Sin embargo, no veo esa intuición en la solución $S(a,t) = c (a - t)$ cuando lo trazo.

Como nota al margen, la ecuación anterior no describe toda la dinámica de la susceptibilidad. He suprimido algunos términos para simplificar el análisis.

ACTUALIZACIÓN:

Supongo que lo que me confunde es que, en la ecuación de la izquierda, tenemos la variación a lo largo de $a$ : $\displaystyle \frac{S(a + \Delta, t) - S(a,t)}{\Delta a}$ , así que nos quedamos al mismo tiempo $t$ y moverse un poco en el $a$ dirección . Del mismo modo, el lado derecho $\displaystyle \frac{S(a, t + \Delta) - S(a,t)}{\Delta t}$ significa que nos mantenemos en la misma (edad) $a$ y moverse un poco en el $t$ dirección. Sin embargo, cuando trazo la solución $S(a,t)$ , no veo esta solución expresando que un cambio en $t$ debe ser igual a un cambio en $a$ con signo contrario.

Gracias de antemano.

Answer 1

Divide ambos lados por $S_a$ . Del cálculo multivariable se obtiene $\frac{da}{dt}=1$ . ¿Qué significa esto? Puede que no sea obvio, pero al menos sugiere que las curvas de la forma $a-t=c$ son importantes para la geometría del problema. Juguemos con esto eliminando $a$ y considerando $S(c+t,t)$ . Ahora estamos en algo - con $f(t) = S(c+t,t)$ tenemos $f'(t) = \frac{\partial S}{\partial a} \frac{da}{dt} + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$ .

¿Qué significa esto? Significa que para cualquier $c$ , $S(c+t,t)$ es constante (para todo $t$ ). Esto demuestra que el "marco de referencia" correcto es en realidad a lo largo de la onda viajera $(c+t,t)$ .

[editar] De forma aún más manoseada, estarías de acuerdo en que $1 \cdot g'(x)=0$ especifica $g(x)$ es constante. En tu ejemplo particular, tienes $\langle1,1\rangle \cdot \nabla S(a,t) = 0$ . Por analogía, entonces $S(a,t)$ es constante a lo largo de la dirección $\langle1,1\rangle$ pero como dejamos la coordenada inicial sin especificar, eso introduce un grado de libertad que luego se propaga a lo largo de rayos de dirección $\langle1,1\rangle$ .

Answer 2

Si traza $S(a,t)$ con $a,t$ como su $x,y$ ejes y $S$ como el $z$ -eje, se debería obtener un plano inclinado que aumenta hacia el $(+,-)$ cuadrante. Piensa en el plano como en la ladera de una montaña; al aumentar en el $a$ dirección, te mueves montaña arriba. Cuando aumentas en la $t$ dirección, te mueves montaña abajo. La ecuación diferencial sólo dice que las velocidades de aumento están relacionadas entre sí.

¿Tiene sentido?