Si $E_1 \supset E_2 \supset ...$$\mu(E_1)<\infty$$\mu(\bigcap E_j)=\lim \mu(E_j)$. Pero ¿por qué necesita $\mu(E_1)<\infty$? Es $(-\infty,-n)$ un contador de ejemplo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Nik Pronko
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Supongamos que usted tiene una familia de conjuntos de $E_n = [n, +\infty)$ y una medida de Lebesgue $\mu$. A continuación, $\mu( \bigcap E_n) = \mu(\emptyset) = 0$ por otra parte, para cada uno de los $n$ $\mu(E_n) = \infty$ por lo $\lim_{n \to \infty} \mu(E_n) = \infty$
Este hecho funciona porque la prueba (que yo sepa ) del teorema en cuestión se basa en el hecho de que $$\mu(E_1) - \mu(\bigcap E_n) =\lim_{n \to \infty} \mu(E_1 \setminus E_n) = \mu(E_1) - \lim_{n \to \infty} \mu(E_n)$$ which cannot be correctly processed if $\mu(E_1) = \infty$, por definición de álgebra para el extendido de los números reales. Para ser más general vamos a tener igualdad de $$ \mu(\bigcap E_n) - \lim_{n \to \infty} \mu(E_n) = \infty - \infty $ $ , que es indeterminant.
La recta implicación de este hecho es que muchos de los teoremas de la probabilidad de no trabajar en el caso de las medidas generales e. g. Egoroff teorema.
