Aclaración de la prueba de $\sum_{p \le x} \frac{1}{p}$

Question

Para la diversión he estado haciendo problemas de M. Ram Murty del texto "Problemas en la Teoría Analítica de números". Hace poco me encontré con el siguiente problema:

Si $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x } = \alpha $$ a continuación, mostrar que $$\sum_{p \le x} \frac{1}{p} = \alpha \log\log x + \underline{o}(\log \log x).$$ Deducir que si el límite existe, debe ser de 1.

La solución a este ejercicio se proporciona en el libro. Es como sigue:

Por parciales de suma, $$\sum_{p \le x} \frac{1}{p} = \frac{\pi(x)}{x} + \int_2^x \frac{\pi(t)}{t^2} dt = \alpha \log \log x + \underline{o}(\log \log x) $$ Desde $\sum_{p \le x} \frac{1}{p} = \log \log x + O(1)$, sabemos que $\alpha$ debe ser 1.

Por desgracia, yo no entiendo completamente esta solución. Entiendo el argumento de por qué $\alpha$ debe ser 1, y la primera igualdad en la solución tiene sentido para mí. Sin embargo, estoy claro sobre cómo la segunda igualdad de la siguiente manera. Puede alguien por favor ayuda a explicar por qué la segunda igualdad se mantiene? Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Para probar $$\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}=\log\left(\log\left(x\right)\right)+O\left(1\right)$ $ podemos utilizar el Mertens segunda fórmula $$\sum_{p\leq x}\frac{\log\left(p\right)}{p}=\log\left(x\right)+O\left(1\right).$ $ que por sumatoria parcial $$\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}=\sum_{p\leq x}\frac{1}{\log\left(p\right)}\frac{\log\left(p\right)}{p}=\frac{1}{\log\left(x\right)}\sum_{p\leq x}\frac{\log\left(p\right)}{p}+\int_{2}^{N}\sum_{p\leq t}\frac{\log\left(p\right)}{p}\frac{dt}{t\left(\log\left(t\right)\right)^{2}}=$$ $$=1+O\left(\frac{1}{\log\left(x\right)}\right)+\int_{2}^{N}\frac{dt}{t\left(\log\left(t\right)\right)}+O\left(\frac{1}{\log\left(t\right)}\right)=$$ $% $ $=\log\left(\log\left(x\right)\right)+1-\log\left(\log\left(2\right)\right)+O\left(\frac{1}{\log\left(x\right)}\right).$