definida positiva y transpuesta

Question

Cuando una matriz A tiene m filas y n columnas (m>n), explique por qué $AA^{T}$ no puede ser definida positiva. Para la misma matriz A, es $A^{T}A$ siempre positivo definido? Si es así, explíquelo. Si no es así, ¿cuál es la condición para A para que $A^{T}A$ ¿es definida positiva?

Ahora $A^{T}$ es la transposición de A. Esto significa que las columnas de $A^{T}$ se forman con las filas correspondientes de A.

Positivo definido significa que $x^{T}Ax$ >0 para todo $x\neq 0$ .

También con matrices simétricas cuadradas, la forma cuadrática $x^{T}Ax$ es positiva definida si y sólo si los valores propios de A son todos positivos.

Pero ¿cómo demuestra esto que $AA^{T}$ no es definida positiva?

Answer 1

Quizá te ayude distinguir entre una matriz $M$ en definida positiva (y permitir $x^TMx \geq 0$ ) y estrictamente positiva definida (tu definición).

Si una matriz $A$ tiene más filas que columnas, no puede tener rango completo de filas y existe un vector $x\neq 0$ tal que $x^TA=0$ . Y así $x^TAA^Tx = 0$ de modo que $AA^T$ puede demostrarse que es positiva, pero no en sentido estricto.

Con los mismos argumentos se puede concluir que $A^TA$ es estrictamente positiva definida, si y sólo si, $A$ tiene rango completo.

Answer 2

$AA^T$ es siempre positivo-semidefinido, es decir $x^TAA^Tx \geq 0$ y los valores propios de $AA^T$ son reales y no negativos.

La única condición para $AA^T$ siendo positivo-definido, es decir $x^TAA^Tx > 0$ y los valores propios de $AA^T$ son reales y positivos, es en el caso de $A$ siendo el rango de columna completo en su caso. Esto se debe a que, supongo que $A$ es una matriz real, $\operatorname{rank}\{A^TA\} = \operatorname{rank}\{A\}$ . Si $A$ no tiene rango de columna completo, entonces $A^TA$ tiene un núcleo no trivial, y por lo tanto $0$ es un valor propio de $A^TA$ Así pues $A^TA$ no es definida positiva en ese caso.