Paquetes de Atiyah sobre curvas elípticas

Question

Estoy leyendo el artículo "Vector de Paquetes sobre Curvas Elípticas" por Atiyah. Tengo un problema en la comprensión de la "singularidad" de la Atiyah paquetes.

Voy a corregir la notación primero: $X$ es una elíptica sobre algebraica de campo cerrado. $\mathcal{E}(r,0)$ es el conjunto de todos los indecomposable holomorphic vector de paquetes de más de $X$, las que tienen rango de $r$ y el grado $0$

Como se afirma en el Lema 16 (me estoy centrando en $d=0$ de los casos):

"Para cualquier $E'\in\mathcal{E}(r',0)$ $\Gamma(E')\neq 0$ existe $E\in\mathcal{E}(r,0)$, único hasta el isomorfismo, dado por la extensión de $$0\rightarrow I_1\rightarrow E\rightarrow E'\rightarrow 0,$$ donde $I_1$ es el trivial de la línea de haz de $X$."

Sin embargo, en el caso más simple $r'=1$, que cualquier auto de la extensión de $I_1$ da un $E$ y desde el espacio de isomorfismo clase de auto extensiones de $I_1$ está dado por $$H^1(X,Hom(I_1,I_1))=H^1(X,I_1)=H^{0,1}(X)=\mathbb{C}.$$ Por lo tanto todos los no-trivial elemento en $H^1(X,Hom(I_1,I_1))$ correspondería a un indecomposable auto de extensión de $I_1$ con grado de $0$, por lo que lo $E$ puede no ser único.

Creo que debo tener algo mal pero yo no lo veo. Sería mi placer si alguien puede señalar lo que me pongo mal. Muchas gracias!

Answer 1

La solución a la paradoja es que dos extensiones $$0\rightarrow I_1\rightarrow E\rightarrow I_1\rightarrow 0 \;\;(\mathcal E)\;\;\operatorname {and}\quad0 \rightarrow I_1\rightarrow E'\rightarrow I_1\rightarrow 0 \;\;(\mathcal E')$$ can be non isomorphic as extensions ($\mathcal E\not \simeq \mathcal E'$) and yet have middle vector bundles which are isomorphic as vector bundles: $E\simeq E' $.
Por ejemplo if, $\lambda \in \mathbb C^*$, $(\mathcal E')=\lambda\cdot(\mathcal E)\in H^1(X,Hom(I_1,I_1))=\mathbb{C}$ ciertamente tendremos $E\simeq E'$ como paquetes de vectores.
Esto explica por qué hay hasta isomorfismo solamente un paquete del vector fila no trivial dos que es una extensión del paquete trivial línea por sí mismo.