Clase de funciones lo que $\int_0^t|f(x)|dx\leq C\cdot t^\alpha$.

Question

He hecho algo con integrales de Lebesgue y me lleva a la siguiente clase de funciones: % Let $\alpha$ser un número real. Consideramos todos Lebesgue mensurable función $f$ $[0;1]$ tal que existe un % constante $C>0$y $\int_0^t|f(x)|dx\leq C\cdot t^\alpha$ por casi todas partes $t\in(0;1]$.

¿Esta clase tiene un nombre? Creo que es mirada simple y habitual. ¿Podríamos construir algunas funciones no triviales que pertenecen a esta clase? (Supongo que más que $\alpha>0$).

Answer 1

Si $\alpha \le 0$ entonces cualquier función integrable $f$ pertenece a la clase.

Si $0 < \alpha < 1$ se puede utilizar la desigualdad de Holder escribir $ \int_0^t | f(s) | \, \le \left(\int_0^t \, ds\right) ds ^ \left {\alpha} (\int_0^t | f(s) | ^ {\frac {1} {1-\alpha}} \, ds \right)^{1-\alpha} = t ^ \alpha \left (\int_0^t | f(s) | ^ {\frac {1} {1-\alpha}} \, ds \right)^{1-\alpha}$$ so that any function $f \in L^{1/(1-\alpha)}([0,1])$ pertenece a la clase.

Si $\alpha \ge 1$, entonces cualquier función integrable satisfacción $$\limsup_{\epsilon\to 0^+} \epsilon^{-\alpha} \int_0^\epsilon |f(s)| \, ds < \infty$ $ pertenece a la clase.