Variación sobre el problema de Monty Hall

Question

Muchos de nosotros sabemos de los Monty Hall Problema

Pero el otro día me pidieron una variación de este acertijo.

La respuesta de la pregunta original es, por supuesto, $ 66\% $ a favor de cambiar las puertas, pero esto se basa en el hecho de que el presentador sabe donde el premio es.

Supongamos que él no sabe dónde está el premio, y después de hacer su selección, se abre una de las otras dos puertas y pasa a ser una cabra. Es mejor cambiar las puertas, cuando él pide?

Yo creo que es. (Después de todo, nos deja con dos posibilidades en lugar de uno.) Pero algunos de mis amigos piensan lo contrario. No somos matemáticos, sólo un par de riddle- "me gusta", así que no está seguro de la respuesta correcta. Por eso he pensado en publicar aquí.

Editar :

He leído esto en la wikipedia y si he entendido bien parece apoyar mi respuesta:

Morgan et al. (1991) y Gillman (1992) muestran una solución más general donde el coche es (uniformemente) colocados al azar, pero el host no está limitado a recoger uniformemente al azar si el jugador ha seleccionado inicialmente el coche, que es la forma en que ambos interpretar la conocida declaración del problema en el Desfile a pesar de que el autor del renuncias. Tanto ha cambiado la redacción de el Desfile de la versión para enfatizar ese punto cuando se reafirmó el problema. Se considera un escenario en el que el anfitrión elige entre revelando dos cabras con una preferencia expresa como una probabilidad p, que tiene un valor entre 0 y 1. Si el host se escoge al azar q iba a ser de 1/2 y de la conmutación de la gana con probabilidad 2/3 independientemente de que el host de la puerta de abre. Si el jugador escoge la Puerta 1 y el host, la preferencia por la Puerta 3 es p, entonces en el caso de que el host abre la Puerta 3 de la conmutación de la gana con probabilidad 1/3 si el coche está detrás de la Puerta 2 y pierde con probabilidad (1/3)q si el coche está detrás de la Puerta 1. La probabilidad condicional de ganar por el cambio dado el host abre la Puerta 3 por lo tanto es (1/3)/(1/3 + (1/3)q) que se simplifica a 1/(1+q). Desde q puede variar entre 0 y 1 esta probabilidad condicional puede variar entre 1/2 y 1. Esto significa que incluso sin limitar el host a de selección al azar, si el jugador inicialmente, se selecciona el coche, el jugador nunca peor de conmutación. Sin embargo, es importante tener en cuenta que ni la fuente sugiere que el jugador sabe lo que el valor de p es, por lo que el jugador puede atribuir una probabilidad distinta de los 2/3 que vos Savant supone que estaba implícito.

¿Cuáles son tus pensamientos?

Answer 1

Supongamos que el premio es en Una, por el motivo de la discusión. Hay 6 igualmente probables opciones a priori:

• escoge Un y el picking de host B (no interruptor)
• escoge Un y el picking de host C (no interruptor)
• usted escoge B y el picking de host (esto no puede suceder ahora, como entonces no ver la cabra)
• usted escoge B y el picking de host C (cambiar)
• usted pick C y el anfitrión elige Un (descartado, como antes)
• usted pick C y el picking de host B. (cambiar)

Sabiendo que vimos una cabra cuando el host elegido (sin información) tenemos que tenemos 4 situaciones en las que nos puede ser en (todas con igual probabilidad) y en 2 de ellos necesitamos cambiar. Así que ahora tenemos un 1/2 oportunidad.

Answer 2

Yo había preparado un gran argumento para esto, escrito todo, y me di cuenta de que estaba mal en el último momento. Esta pregunta ya ha sido contestada, pero pensé que me gustaría añadir mi explicación en caso de que esto ayude a alguien más tarde.

El Teorema De Bayes: $$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$$ Para este caso, estoy usando esto:

• Vamos a Ganar será la probabilidad de ganar si cambia
• Deje que la Cabra será la probabilidad de Monty Hall revelando una cabra

$$P(Winning|Goat)=\frac{P(Goat|Winning) \cdot P(Winning)}{P(Goat)} $$

Para el original Monty Hall problema, porque Monty sabe donde la cabra es, hay un 100% de probabilidad de que él va a revelar una cabra si o no cambiar de ganar (P(Cabra|Ganar)). También hay un 100% de probabilidad de que él va a elegir una cabra (P(Cabra)). Hay 4 de los 6 posibles de los resultados de las ganancias en caso de que adopte una estrategia de cambio. La fórmula funciona de esta manera: $$P(Winning|Goat)=\frac{1 \cdot .66}{1}=.66$$

Si Monty Hall no sabe donde las cabras, las probabilidades son un poco diferentes y es un poco complicado (al menos lo es para mí).

La probabilidad de Monty Hall de escoger una cabra ($P(Goat)$) es bastante fácil, que sólo en 2 de los 3 o cerca de un 66%.

Las otras dos variables dependen de las reglas del juego. Por ejemplo, si Monty Hall nos permite cambiar el coche si se revela el coche, entonces la probabilidad de ganar el juego si usted adopta una estrategia de cambio ($P(Winning)$) es de un 66% debido a que hay 4 los resultados de las ganancias de 6; sin embargo, si usted no está autorizado a cambiar a una puerta abierta, entonces los dos resultados donde Monty Hall recoge el coche al azar se vuelven a perder los escenarios y $P(Winning) = \frac{2}{6} = 33\%$.

Finalmente, P(Cabra|Ganar) significa "la probabilidad de Monty Hall de escoger una cabra teniendo en cuenta que usted va a ganar si el interruptor." Si usted está garantizado para ganar si el interruptor de las puertas, que significa que usted debe haber seleccionado una de las dos cabras.

Para la primera regla que hay cuatro resultados:

• Has seleccionado cabra B, Monty revela Un coche, cambiar, usted gana
• Has seleccionado cabra C, Monty revela Un coche, cambiar, usted gana
• Has seleccionado cabra B, Monty revela cabra C, interruptor, usted gana
• Has seleccionado cabra C, Monty revela cabra B, interruptor, usted gana

Así, de la ganadora de conmutación de los resultados, Monty recoge una cabra mitad del tiempo. Por lo tanto, $P(Goat|Winning)=50\%$ para la primera regla.

En la segunda regla, hay dos ganadores de los resultados:

• Has seleccionado cabra B, Monty revela cabra C, interruptor, usted gana
• Has seleccionado cabra C, Monty revela cabra B, interruptor, usted gana

Recuerde, si Monty revela un coche para la segunda regla, perderá automáticamente. Como resultado, $P(Goat|Winning)=100\%$ para la segunda regla.

Si se le permite cambiar a la puerta de Monty revela, entonces: $$P(Winning|Goat)=\frac{.5 \cdot .66}{.66} = .5$$

Por otro lado, si Monty revelando un coche significa que usted pierde, entonces: $$P(Winning|Goat)=\frac{1 \cdot .33}{.66} = .5$$