Dado el siguiente punto 9 Laplaciano
\begin{align}
-\nabla^2u_{i,j} = \frac{2}{3h^2}\left[5u_{i,j} - u_{i-1,j} - u_{i+1,j} - u_{i,j-1} - u_{i,j+1} - u_{i-1,j-1} - u_{i-1,j+1} - u_{i+1,j-1} - u_{i+1,j+1}\right] \quad\quad (1)
\end{align}
Se muestra el uso de series de Taylor de que
\begin{align}
-\nabla^2u_{i,j} = -\nabla^2u - \frac{h^2}{12}(u_{xxxx} + 2u_{xxyy} + u_{yyyy}) + O(h^4) \quad\quad (2)
\end{align}
$h$ es la distancia entre dos puntos adyacentes y es uniforme a lo largo de ambos ejes. Es decir,
\begin{align}
u_{i,j} - u_{i-1,j} = u_{i,j} - u_{i,j-1} = h
\end{align}
Así que me tomó de la serie de Taylor para los términos en (1):
\begin{align}
u_{i-1,j} = u - hu_x + \frac{h^2}{2}u_{xx} - \frac{h^3}{6}u_{xxx} + \frac{h^4}{24}u_{xxxx} + O(h^5)\\
u_{i+1,j} = u + hu_x + \frac{h^2}{2}u_{xx} + \frac{h^3}{6}u_{xxx} + \frac{h^4}{24}u_{xxxx} + O(h^5)\\
u_{i,j-1} = u - hu_y + \frac{h^2}{2}u_{yy} - \frac{h^3}{6}u_{yyy} + \frac{h^4}{24}u_{yyyy} + O(h^5)\\
u_{i,j+1} = u + hu_y + \frac{h^2}{2}u_{yy} + \frac{h^3}{6}u_{yyy} + \frac{h^4}{24}u_{yyyy} + O(h^5)\\
u_{i-1,j-1} = u - h(u_x + u_y) + \frac{h^2}{2}(u_{xx} + 2u_{xy} + u_{yy}) - \frac{h^3}{6}(u_{xxx} + 3u_{xxy} + 3u_{xyy} + u_{yyy}) + \frac{h^4}{24}(u_{xxxx} + 4u_{xxxy} + 6u_{xxyy} + 4u_{xyyy} + u_{yyyy}) + O(h^5)\\
u_{i-1,j+1} = u - h(u_x - u_y) + \frac{h^2}{2}(u_{xx} - 2u_{xy} + u_{yy}) - \frac{h^3}{6}(u_{xxx} - 3u_{xxy} + 3u_{xyy} - u_{yyy}) + \frac{h^4}{24}(u_{xxxx} - 4u_{xxxy} + 6u_{xxyy} - 4u_{xyyy} + u_{yyyy}) + O(h^5)\\
u_{i+1,j-1} = u + h(u_x - u_y) + \frac{h^2}{2}(u_{xx} - 2u_{xy} + u_{yy}) + \frac{h^3}{6}(u_{xxx} - 3u_{xxy} + 3u_{xyy} - u_{yyy}) + \frac{h^4}{24}(u_{xxxx} - 4u_{xxxy} + 6u_{xxyy} - 4u_{xyyy} + u_{yyyy}) + O(h^5)\\
u_{i+1,j+1} = u + h(u_x + u_y) + \frac{h^2}{2}(u_{xx} + 2u_{xy} + u_{yy}) + \frac{h^3}{6}(u_{xxx} + 3u_{xxy} + 3u_{xyy} + u_{yyy}) + \frac{h^4}{24}(u_{xxxx} + 4u_{xxxy} + 6u_{xxyy} + 4u_{xyyy} + u_{yyyy}) + O(h^5)
\end{align}
Suponiendo que tengo todas las series de Taylor de términos a la derecha, la adición de los 4 primeros y los últimos 4 trimestres, da
\begin{align}
u_{i-1,j} + u_{i+1,j} + u_{i,j-1} + u_{i,j+1} = 4u + h^2(u_{xx} + u_{yy}) + \frac{h^4}{12}(u_{xxxx} + u_{yyyy}) + O(h^6)\\
u_{i-1,j-1} + u_{i-1,j+1} + u_{i+1,j-1} + u_{i+1,j+1} = 4u + 2h^2(u_{xx} + u_{yy}) + \frac{h^4}{6}(u_{xxxx} + 6u_{xxyy} + u_{yyyy}) + O(h^6)
\end{align}
Sustituyendo en la eqn (1),
\begin{align}
-\nabla^2u_{i,j} &= \frac{2}{3h^2}\left[-3u_{i,j} - 3h^2(u_{xx} + u_{yy}) - \frac{h^4}{4}(u_{xxxx} + 4u_{xxyy} + u_{yyyy}) + O(h^6)\right]\\
\Rightarrow -\nabla^2u_{i,j} &=\left[\frac{-2u_{i,j}}{h^2} -2(u_{xx} + u_{yy}) - \frac{h^4}{6}(u_{xxxx} + 4u_{xxyy} + u_{yyyy}) + O(h^4)\right]
\end{align}
Eso es lo que he conseguido hasta ahora. Claro que tengo algunas condiciones adicionales (en comparación con eqn (2)), pero no estoy muy seguro de qué más puedo hacer aquí. Cualquier ayuda sería muy apreciada!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La aproximación con las unidades de peso en el exterior de los nodos debe ser (método a) $$ \nabla^2 u \aprox \frac{-8u_{i,j}+u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1}+u_{i+1,j+1}+u_{i-1,j-1}+u_{i+1,j-1}+u_{i-1,j+1}}{3h^2} $$ usted puede obtener esta fórmula simplemente haciendo un resumen de todas sus expansiones de Taylor (se ven bastante bien) - esto también le dará la $O(h^4)$ de precisión.
los coeficientes del numerador debe siempre suma cero - la suya en la ecuación (1) suma de 8-5 = 3. Esta forma de la ecuación (1: método Q) es probablemente un error tipográfico!
la primera trama es una simple función que nos permite calcular el Laplaciano es exactamente, la segunda es la exacta Laplaciano, el tercero es el uso de la fórmula que me han proporcionado, y el último es el uso de la de la ecuación (1).
