¿Por qué es válida la integración infinita por partes?

Question

Hace unos días escribí un responder para resolver $\int x\exp(x^2)$ utilizando la integración por partes,la fórmula general para la integral es $$\int x^{2n+1}e^{x^2}dx=\frac{x^{2n+2}}{2n+2}e^{x^2}-\frac{1}{n+1}\int x^{2n+3}e^{x^2}dx$$ Si etiquetamos la integral $I_n$ obtenemos $$I_n=\frac{x^{2n+2}}{2n+1}e^{x^2}-\frac{1}{n+1}I_{n+1}$$ Ahora mi pregunta es por qué podemos sustituto la integral para una suma infinita,así (para mayor claridad omitamos $C$ )? $$I_0=\frac{x^2}{2}e^{x^2}-\frac{x^4}{4}e^{x^2}+\frac{x^6}{12}e^{x^2}-\frac{x^8}{48}e^{x^2}+\frac{x^{10}}{240}e^{x^2}+\cdots$$ Parece que estamos omitiendo el $I_{n+1}$ De alguna manera, ¿cuál es la justificación correcta de este paso?

Answer 1

Para hacer una pregunta precisa, consideremos la integral definida sobre un intervalo $[a,b]$ .

Recordemos que una serie no es más que una sucesión de sumas parciales. Y si $A_j$ es el término general de la serie que obtienes al final, tienes algo como:

$$I_0 = \sum_{j=1}^n A_j - \frac{1}{(n+1)!}I_{n+1}$$

Y así las sumas parciales convergen precisamente cuando $\frac{1}{n!}I_n$ converge. Ahora puedes intentar acotar $$\frac{1}{n!}I_{n} = \frac{1}{n!}\int_a^b x^{2n+1}e^{x^2}dx$$ para demostrar que la serie converge para cualquier $a$ , $b$ .