Punto límite de un subconjunto infinito de un conjunto compacto

Question

Tengo una duda acerca de la prueba del teorema 2.37 en Rudin del Principio de Análisis Matemático, que he incluido a continuación.

Mi problema es, la prueba trata de una colección de singleton $\{V_q\}$ como abrir la tapa; sin embargo, finito de conjuntos son cerrados (edit: "y también no", es lo que quise decir; gracias a GNU Emacs para señalar esto) lo que significa que la colección no puede ser una cubierta abierta. Si la colección no es una cubierta abierta, entonces la contradicción se cae a pedazos. Así que, ¿qué hay de malo en mi razonamiento aquí?

2.37 Teorema: Si $E$ es un infinito subconjunto de un conjunto compacto $K$, $E$ tiene un punto límite en K.

Prueba: Si no hay ningún punto de $K$ fueron un punto límite de $E$, entonces cada una de las $q\in K$ tendría un vecindario $V_q$ que contiene más de un punto de $E$ (es decir, $q$ si $q\in{E}$). Está claro que no hay finito subcolección de ${V_q}$ puede cubrir $E$; y lo mismo es cierto de $K$, ya que el $E\subset K$. Esto se contradice con la compacidad de $K$.

Answer 1

$V_q$ es sólo un conjunto abierto que contiene $q$ tal que $V_q\cap E=\{q\}$; $V_q$ puede (probablemente voluntad) tiene otros elementos. Sospecho que se trata de la frase

que contiene a más de un punto de $E$.

Esto es no decir que $V_q$ contiene a más de un punto! Solo que el $V_q$ contiene a lo más un punto en $E$ - $V_q$ puede contener muchos puntos no en $E$.

Answer 2

Los conjuntos de $V_q$ no son necesariamente los únicos: sólo sabemos que $V_q\cap E$ es un singleton o vacío, sino $V_q$ puede contener muchos otros puntos que no están en $E$.

Pero incluso si fueran los únicos, la prueba todavía funciona! La prueba es una prueba por contradicción: suponiendo que $E$ no tiene ningún punto límite en $K$, se llega a una contradicción. La prueba produce un conjunto $V_q$ que es por definición abierto: es decir, es un conjunto abierto que contiene a $q$ que contiene más de un elemento de $E$ (un conjunto abierto existe desde $q$ no es un punto límite de $E$). Si usted puede probar que $V_q$ es finito y por lo tanto no podría en realidad ser abierto, esto es una contradicción. Pero eso está bien, ya que estaban tratando de obtener una contradicción de todos modos!

Answer 3

Gracias a todos por su ayuda. Simplemente me he dado cuenta de que me olvidé de una manera muy simple hecho de que cada barrio es un conjunto abierto (teorema 2.19). Por lo tanto, incluso si $V_q$ contiene un solo elemento $q$, ${q}$ es bastante trivial de un punto interior de a $V_q$.

Conclusión: Puesto que el teorema 2.19 implica $V_q$ es un conjunto abierto y la unión de $\{V_q\}$ contiene $K\supset E$ (como se define en el teorema 2.37), a continuación, $\{V_q\}$ es una cubierta abierta de a $K$. Sin embargo, es claro que no finito subcolección de $\{V_q\}$ puede cubrir $E\subset K$; y, por lo tanto, esto se contradice con la compacidad de $K$, y el teorema sostiene.

Observaciones:

Mi afirmación anterior de que la conclusión es la inversa de la definición de un conjunto abierto. Sin embargo, todavía me decidí a hacer la declaración, debido a la demostración del teorema 2.19: demuestra que, para un barrio de $N$ $p$ punto $q\in N$, $q$ es un punto interior. Por lo tanto, debido a la mencionada serie $V_q$ es abierto, entonces se tiene, como único elemento, de un punto interior.

Es un lugar sutil comentario, pero creo que es necesario hacer para aquellos que están pensando en que mi afirmación anterior de que la conclusión es la inversa de la definición de un conjunto abierto, que a su vez necesita una explicación adicional.

Me gustaría añadir, además, que el único problema que tenía era si o no a cada una de las $V_q$ estaba abierta. Sin embargo, parece que la opción de $\{V_q\}$ ha recibido más atención. Yo no tengo un problema con esto, porque la elección implica $V_q$ contiene sólo una $q\in E$ o $q$ es un punto interior de a $K\setminus{E}$ tal que $V_q\cap{E}=\emptyset$. Por lo tanto, no finito subcolección de $\{V_q\}$ puede cubrir $E$.