¿Cómo cambiar a un anillo de convergencia de la serie Laurent?

Question

Dada la serie de Laurent $ \sum\limits_ {k=- \infty }^ \infty a_k^{(l)} z^k = f(z)|_{r_l<|z|<R_l}$ de una función meromórfica $f$ en $ \mathbb C$ con la región de convergencia $r_l< |z|< R_l$ se puede utilizar la continuación analítica para obtener los valores en las regiones $r_m<|z|<R_m$ donde o bien $r_m=R_l$ o $R_m=r_l$ es decir, cambiar entre series que convergen en anillos vecinos cuyos límites tocan singularidades aisladas. ¿Pero cómo pueden los nuevos coeficientes $a_k^{(m)}$ se obtengan de las antiguas?

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Como un ejemplo a lo que me refiero, toma la serie geométrica $$1+q+q^2+... = \sum_ {k=0}^ \infty q^k = \frac1 {1-q} \Bigg |_{|q|<1}$$ que se transporta por $|q|<1$ y su "contraparte" para $|q|>1$ , $$ \frac1 {1-q} \Big |_{|q|>1} = \frac1q\frac {1}{ \tfrac1q -1} \Bigg |_{ \big | \tfrac1q\big |<1} = - \frac1q\sum_ {k=0}^ \infty \left ( \frac1q\right )^k = - \sum_ {k=- \infty }^1 q^k$$

Así que la pregunta para ese ejemplo sería, cómo llegar desde el $r_1=0 \le |q|<1=R_1$ coeficientes $$a_k^{(1)} = \begin {cases}1 & k \ge0 \\ 0 & k<0 \end {cases}$$ a la $r_2=R_1=1<|q|< \infty =R_2$ $$a_k^{(2)} = \begin {cases}0 & k > 1 \\ -1 & k \le 1 \end {cases}$$ sin el truco que usé, es decir, sólo de los coeficientes (y radios de convergencia)?

Answer 1

Para empezar, la pregunta es qué se sabe. Si se nos da $f(z)$ en $ \mathbb {C} \cup \{ \infty \}$ excepto en muchos puntos singulares aislados, entonces el Teorema de Laurent proporciona fórmulas para los coeficientes en términos de la integral de $f(z)$ alrededor de un círculo en cada anillo centrado en el punto en cuestión. Así, el método para encontrar la serie de Laurent en el siguiente anillo no tiene nada que ver con los coeficientes en el anillo dado. Así que, ciertamente la fórmula global para $f(z)$ no se da, ya que ese no es el espíritu de la cuestión.

Supongamos que estudiamos la serie de Laurent sobre $z_o$ entonces si $f(z)$ es holomórfico (analítico) para $r < |z-z_o| < t$ entonces existe una descomposición de la serie Laurent de $f(z)$ para cada uno $z$ en el anulus: $$ f(z) = \sum_ {n=- \infty }^{ \infty }a_n (z-z_o)^n$$ donde para cualquier $s \in (r,t)$ $$ a_n = \frac {1}{2 \pi i} \int_ {|z-z_o|=r} \frac {f(z)}{ (z-z_o)^{n+1}}\, dz $$ Fíjense, estos coeficientes son únicos para un centro y un anillo determinados. La elección de $s$ no altera la integral anterior porque el integrando es holomórfico dentro del anillo, por lo que la deformación de un radio a otro no altera el valor.

Así que, lo que saco de esto, cualquier método que use para descubrir los coeficientes de la serie de Laurent en el nuevo anular, una vez que los encuentre en cualquier punto, los encontrará en todas partes. Son únicos para cada anillo.

De ello se deduce que podemos utilizar el truco del recentador de forma algo indirecta. Esta imagen da la idea: los puntos rojos son los puntos singulares aislados. Comenzamos con la serie de Laurent en el anillo amarillo y queremos descubrir los coeficientes en el anillo azul.

Si podemos obtener valores para $f(z)$ en un contorno en el anillo azul que es suavemente deformable a un círculo en el anillo azul entonces eso significa que por el Teorema de Laurent podemos derivar el coeficiente que prescribe de manera única la descomposición de Laurent con centro $z_o$ en el anillo azul. Así que, la técnica de Weierstrauss de reentrenamiento parecería conseguirnos los valores para una continuación del anular marrón que nos da algunos de los valores que necesitamos. Ahora, de lo que no estoy seguro en este momento, es, si las singularidades nos impiden obtener el contorno cerrado de valores que necesitamos. En cualquier caso, llevar a cabo esto para un ejemplo específico parece bastante complicado... a menos que... obtengamos la fórmula global de $f(z)$ como en su ejemplo de serie geométrica. Entonces la expansión fluye naturalmente de nuestro conocimiento de la fórmula global que no es realmente lo que buscas.

Answer 2

(Expandiendo mi comentario en La respuesta de James )

James ya proporcionó una buena imagen, que voy a construir aquí:

Por el momento, no conozco una fórmula analítica, pero el algoritmo es este:

• Dado: la serie Laurent en la zona amarilla, delimitada por $r<|z-z_0|<R$
• Buscada: la de la zona azul exterior, delimitada por $R<|z-z_0|<{ \color {blue}{R_b}}$ (es sencillo modificar todo esto para cambiar a un anular más pequeño)
• Cambiar el centro a un punto $z_1$ que se encuentra no en dirección a una singularidad que causa $R$ para ser $R$ (que puede ser verificado comprobando el nuevo $R_1$ )
• Use el $z_1$ -para obtener valores en una pequeña sección del anillo azul alrededor de $ \color {lime}{z_3}$ los puso en la fórmula para una expansión de la serie Laurent (en realidad, Taylor, ya que evitamos la singularidad - para hacer expandirse alrededor de la singularidad en cambio por menos pasos?) en esa pequeña sección de azul, con radio de convergencia $ \color {lime}{R_2}$
• se mueven a lo largo de la interfaz amarillo-azul hacia el límite de convergencia en $ \color {orange}{z_3}$ Taylor, expandirse allí.
• continuar hasta que se disponga de un círculo completo (al acercarse a las singularidades en la interfaz, rodearlas a través de la azul zona)
• usar la expansión Laurent con ese círculo abombado alrededor $z_0$

Bien, ahora tratemos de hacer esto más analítico:

La representación de la serie alrededor de $z_l$ es

\begin {alinear} f_l(z) &= \sum_ {k=- \infty }^ \infty c_k^{(l)} (z-z_l)^k = f(z) \Big |||z-z_l|<<R_l}, \\ & \quad\text {y en su zona de convergencia tenemos} \\ c_k^{(l)} &= \frac1 {2 \pi i} \oint\limits_ {r_l<||z-z_l|<R_l} \frac {f(z)\,dz}{(z - z_l)^{k+1}} \quad \Big | \quad z = z_l + re^{i \phi },\ dz = ir e^{i} \phi }\,d \phi ,\ r \in (r_l,R_l) \\ &= \frac1 {2 \pi r^k} \int_0 ^{2 \pi }f(z_l+re^{i \phi }) \cdot e^{-ik \phi }\,d \phi. \tag {c} \label {c} \end {alinear}

(Observe cómo $ \eqref {c}$ es una transformación de Fourier a lo largo de un círculo, ver esta pregunta para más información sobre eso)

Ahora, vamos a usar un centro ligeramente diferente $z_m = z_l - d_m$ y elegir $r \in (r_l+|d_m|,R_l-|d_m|)$ (que implícitamente requiere $|d_m|< \frac {R_l-r_l}2$ para que tenga sentido) así que permanecemos en el anillo amarillo: \begin {alinear} c_k^{(l)} &= \frac1 {2 \pi r^k} \int_0 ^{2 \pi } \Big [ \sum_p c_p^{(m)} \underbrace {(re^{i} \phi } + d_m)^p}_{= \sum\limits_ {n=0}^p \binom pn d_m^{p-n}r^ne^{in \phi }} \Big ] \cdot e^{-ik \phi }\,d \phi \quad\Bigg | \quad \int_0 ^{2 \pi }e^{i(n-k) \phi }\,d \phi = 2 \pi\delta_ {\i1}{\b1} \\ &= \sum_ {p=k}^ \infty \binom pk c_p^{(m)}d_m^{p-k}. \end {alinear}

Tomemos $d_m$ para ser infinitesimal, así que tenemos

$$c_k^{(l)} \dot = c_k^{(m)} + (k+1)c_{k+1}^{(m)}d_m$$

donde $ \dot =$ denota igual hasta $ \mathcal O(d_m^2)$ .

Bien, el siguiente paso es obtener los nuevos radios de convergencia para asegurarnos de que no nos movemos accidentalmente hacia una singularidad:

\begin {alinear} \frac1 {R^{(l)}} &= \limsup_ {k \to\infty }|c_k^{(l)}|^{{\i} \frac1k } \\ &= \limsup_ {k \to\infty } \underbrace { \Big |c_k^{(m)} + (k+1)c_{k+1}^{(m)}d_m \Big |^{ \frac1k }}_{ \dot = \Big (|c_k^{(m)}|^2 + 2(k+1) \Re\big [(c_k^{(m)})^*c_{k+1}^{(m)}d_m \big ] \Big )^{ \frac1 {2k}}} \\ & \dot = \limsup_ {k \to\infty } |c_k^{(m)}|^{{\i} \frac1k } \Bigg (1+ \tfrac {k+1}{k} \underbrace { \frac { \Re\big [(c_k^{(m)})^*c_{k+1}^{(m)}d_m \big ]}{|c_k^{(m)}|^2}}_{= \Re\frac {c_{k+1}^{(m)}d_m}{c_k^{(m)}}} \Bigg ) \\ & \le \frac1 {R^{(m)}} \Big (1+ \Re\Big [d_m \limsup_ {k \to\infty } \tfrac {k+1}k \tfrac {c_{k+1}^{(m)}}{c_k^{(m)}} \Big ] \Big ) \\\Rightarrow R^{(l)} y \ge R^{(m)} \underbrace { \Big (1+ \Re\Big [d_m \limsup_ {k \to\infty } \tfrac {k+1}k \tfrac {c_{k+1}^{(m)}}{c_k^{(m)}} \Big ] \Big )^{-1}}_{ \dot =1- \Re\Big [d_m \limsup_ {k \to\infty } \tfrac {k+1}k \tfrac {c_{k+1}^{(m)}}{c_k^{(m)}} \Big ]} \end {alinear}

Estoy seguro de que se puede mejorar de alguna manera...

Continuará (siguiente paso: calcular un nuevo radio de convergencia para asegurarse de no acercarse a las singularidades de la interfaz)

Answer 3

Aquí hay otro enfoque.

Deje que $A_1 = \{ r_1<|z|<r_2 \}$ , $A_2 = \{ r_2<|z|<r_3 \}$ , $A_3 = \{ r_1<|z|<r_3 \}$ . Deje que $f(z)$ ser una función meromórfica en $A_3$ que es holomórfico en $A_1$ y $A_2$ . Escriba la expansión Laurent de $f$ en $A_1$ : $$f(z) = \sum_ {n \in \mathbb {Z}} a_n z^n.$$ Deje que $z_1, \dots ,z_r \in \{ |z| =r_2 \}$ ser los polos de $f$ y $n_1, \dots ,n_r$ su orden. Deje que $$g(z)= \prod_ {i=1}^r (z-z_1)^{-n_i}.$$ Calcular la expansión de Laurent de $g$ en $A_1$ : $$g(z) = \sum_ {n \in \mathbb {Z}} \alpha_n z^n.$$ Luego $f-g$ es holomórfico en $A_3$ y tiene la expansión de Laurent $$f(z)-g(z) = \sum_ {n \in \mathbb {Z}} (a_n- \alpha_n ) z^n.$$ Calcular la expansión de Laurent de $g$ en $A_2$ : $$g(z) = \sum_ {n \in \mathbb {Z}} \beta_n z^n.$$ Concluimos que la expansión de Laurent de $f(z)$ en $A_2$ es $$f(z) = \sum_ {n \in \mathbb {Z}} (a_n- \alpha_n ) z^n + \sum_ {n \in \mathbb {Z}} \beta_n z^n = \sum_ {n \in \mathbb {Z}} (a_n- \alpha_n + \beta_n ) z^n.$$

Esto parece bastante trivial, pero el truco es que no sé si hay una fórmula para $(z_i)_i$ y $(n_i)_i$ en función de la $(a_n)_n$ . Por supuesto, si puedes calcular $f$ en $A_2$ entonces puedes conseguir fácilmente el $(z_i)_i$ y $(n_i)_i$ con una integral.