La función de Green que has dado arriba no es la función de Green para un aislante, que genéricamente no debería tener polos si no hay superficie de Fermi.
El argumento de Volovik es un poco circular, ya que se sabe desde el principio que $p=p_{F}$ es el momento de Fermi, que define la superficie de Fermi. Cuando $p\approx p_{F}$ se puede inferir la forma de la función de Green como has escrito en tu pregunta, y luego desde el análisis complejo se puede escribir $N_{1}$ . Entonces te das cuenta de que $N_{1}$ es topológicamente no trivial ya que una perturbación $G=G_{0}+\delta G$ en $N_{1}$ lo dejará invariable (digamos que de forma diferente $\delta N_{1}=N_{1}\left(G_{0}+\delta G\right)-N_{1}\left(G_{0}\right)=\mathcal{O}\left(\delta G^{2}\right)$ no tiene ningún término lineal en $\delta G$ ). Así que usted promueve $N_{1}$ para caracterizar la superficie de Fermi. En el caso que has dado $G^{-1}\left(z\right)=z+v_{F}\left(p-p_{F}\right)$ con toda seguridad $N_{1}=\pm 1$ ¿Estoy en lo cierto?
Ahora me pregunto por la forma genérica de la función de Green para un aislante. Me parece que es algo así como $G^{-1}\left(z\right)=1$ Pero no entiendo por qué en este momento. Yo diría que debería ser algo suficientemente trivial analíticamente para no tener densidad de estado. La forma más sencilla es no tener ningún polo en el eje real. Claramente $N_{1}=0$ en este caso.
Editar: De hecho, quería ver esto con más detalle. Así que vamos a intentar un modelo simplista cuando una brecha separa las bandas de electrones y agujeros.
Un modelo sencillo
Supongamos que el Hamiltoniano
$$H=\tau_{3}\left(p^{2}+\Delta\right)-\mu$$
con $p$ el impulso (en lugar de $p/\sqrt{2m}$ ), $\Delta$ una brecha y $\mu$ un parámetro (al pasar a cuerpo múltiple, se convierte en el potencial químico). Se ve que hay dos bandas (adopto la terminología de la materia condensada), digamos para el electrón y el agujero, ambas con la misma masa efectiva y separadas por el hueco $\Delta$ , lo que supongo que siempre es positivo. Cuando $\mu>\Delta$ la superficie de Fermi es de naturaleza electrónica, mientras que para $\mu<-\Delta$ sólo hay agujeros en la superficie de Fermi.
Las funciones de Green asociadas son
$$G_{\sigma}\left(z\right)=\dfrac{1}{z-\sigma\left(p^{2}+\Delta\right)+\mu}$$
con $\sigma=\pm$ representando la ambivalencia electrón/hueco. Normalmente, en materia condensada, preferimos discutir la energía tomando como referencia el potencial químico, por lo que introducimos $z=\omega-\mu$ (Dejo caer $\hbar$ ). Entonces la superficie de Fermi se define como el lugar de la $p$ 's que se encuentra en el potencial químico $\omega=\mu$ . Por construcción, estos loci son los pôles de $G_{\sigma}\left(z=0\right)$ arriba. Uno encuentra fácilmente
$$\hat{p}_{\sigma}^{\pm}=\pm\sqrt{\sigma\mu-\Delta}$$
para los pôles. El $\pm$ Las distinciones provienen de la dispersión cuadrática, por lo que por cada partícula que se mueve a la derecha tenemos una que se mueve a la izquierda. Esta duplicación es obviamente esencial para preservar la invariancia galileana, pero no tiene nada que ver con la brecha y la diferencia entre el comportamiento metálico y el aislante, así que dejo de lado el $\pm$ distinción de ahora.
Ahora vemos lo esencial: para $\sigma = +1$ y $\mu>0$ no hay ningún polo a lo largo del eje real cuando $\mu<\Delta$ . Lo mismo ocurre con $\mu<0$ y el sector de los agujeros $\sigma = -1$ si $\left|\mu\right|>\Delta$ . En conclusión, no hay ningún polo a lo largo del eje real en el hueco. En la situación habitual, cuando el potencial químico se encuentra por encima de la brecha, existen polos a lo largo del eje real $\mu > \Delta > 0$ en el sector de los electrones y $-\mu>\Delta>0$ en el sector de los agujeros.
Este es un argumento genérico: la función de Green asociada a un aislante no tiene ningún polo a lo largo del eje real, ya que el potencial químico se encuentra dentro de un hueco de momento prohibido por construcción. La función de Green puede tener un polo imaginario en el interior de la brecha (como en el caso anterior), lo que requiere que el momento esté mal definido (es decir, que el momento se vuelva imaginario). Esto sólo puede ocurrir imponiendo condiciones de contorno, ya que la "función de onda" es entonces evanescente. Por esta razón, estos estados se denominan estados de borde o estados de superficie.
Ahora, para volver a la $N_{1}$ construcción, debemos definir un $N_{\sigma}$ que seleccionan si calculamos el $N_1$ en la pregunta utilizando $G_{+}$ o $G_{-}$ y tendremos
$$\begin{cases} \left|N_{1}\right|=+1\;;\;N_{-1}=0 & \mu>\Delta\\ N_{1}=N_{-1}=0 & \left|\mu\right|<\Delta\\ N_{1}=0\;;\;\left|N_{-1}\right|=+1 & \left|\mu\right|>\Delta \end{cases}$$
El signo en el sector metálico no tiene ninguna importancia, depende de cómo se gire el pôle. Lo importante es que $N_{\sigma}=0$ en el sector del aislante, como es trivial la invariante del agujero cuando el potencial químico se encuentra en el sector del electrón, y viceversa $N_{1}=0$ cuando $\left|\mu\right|>\Delta$ .
Sobre los pôles de las funciones verdes
Parece que la siguiente observación es bienvenida (ver el comentario de Meng-Cheng).
Normalmente, las propiedades del espectro del sistema se obtienen a partir de los polos de la función de Green, tomados en función de $z=\omega-\mu$ . Por ejemplo, la función de Green anterior $G_{\sigma}\left(z\right)=\left(z-\sigma\left(p^{2}+\Delta\right)+\mu\right)^{-1}$ sólo tiene un polo $\hat{\omega}_{\sigma}=\sigma\left(p^{2}+\Delta\right)$ a lo largo del $\omega$ -que corresponde a las energías propias del sistema (la relación de dispersión), y aparece en las llamadas propiedades espectrales de la función de Green [Economu]. Como también señaló Meng-Cheng, la diferencia entre el aislante y el metal viene dada por la posibilidad de tener excitaciones arbitrarias de baja energía. En el ejemplo, cuando $\Delta>0$ la energía más baja es $\Delta$ (es decir $\hat{\omega}_{\sigma=1}\left(p=0\right)=\Delta$ que va a cero para un sistema sin tapones (por lo tanto, para un metal normal).
Por el contrario, toda la maquinaria desarrollada en la sección anterior se refiere a los roles de la función $G_{\sigma}\left(z=0\right)$ con respecto a $p$ . Sólo estos últimos pôles de $G_{\sigma}\left(z=0\right)$ con respecto a $p$ se asocian a la superficie de Fermi [Horava].
Referencias
