Demostrar que $\sum_{r=1}^n \frac 1{r}\binom{n}{r} = \sum_{r=1}^n \frac 1{r}(2^r - 1)$

Question

Demostrar que $\sum_{r=1}^n \frac 1{r}\binom{n}{r} = \sum_{r=1}^n \frac 1{r}(2^r - 1)$

Una cosa he probado es a representar ambos $\binom{n}{r}$ y $2^r$ como suma de Coeficientes binomiales, es decir, $\sum \binom{i}{r-1}$ y $\sum \binom{r}{i}$ respectivamente, pero no parece ser útil. También he intentado utilizar identidades binomiales pero no veo cómo puede aplicarse al problema.

Answer 1

ps

Answer 2

Solución sin utilizar cálculo:

$$\begin{align} \sum_{r=1}^n\frac 1r\binom nr &=\sum_{r=1}^n\frac 1r\sum_{k=r}^n\binom kr-\binom{k-1}r \qquad\qquad\qquad\text{(*)}\\ &=\sum_{r=1}^n\frac 1r\sum_{k=r}^n\binom {k-1}{r-1}\\ &=\sum_{r=1}^n\sum_{k=r}^n\frac1k\binom kr\\ &=\sum_{k=1}^n\frac 1k\sum_{r=1}^k\binom kr\\ &=\sum_{k=1}^n\frac 1k(2^k-1)\\ &=\sum_{r=1}^n\frac 1r(2^r-1)\qquad\blacksquare \end {Alinee el} $$ * $\binom nr$ de "untelescoping" y observando que $\binom {r-1}r=0$.