Si las variables $a_1,b_1,c_1,d_1,a_2,b_2,c_2,d_2$ son escaladas por un factor positivo, los valores de las fracciones que se compara seguirá siendo el mismo, por lo tanto la condición de
$$0 < a_1,b_1,c_1,d_1,a_2,b_2,c_2,d_2 < 1$$
puede ser reemplazada por la simple condición de
$$a_1,b_1,c_1,d_1,a_2,b_2,c_2,d_2 > 0$$
Para ver que las condiciones
$$a_1,b_1,c_1,d_1,a_2,b_2,c_2,d_2 > 0$$
$$\frac{a_{1}}{b_{1}} > \frac{c_{1}}{d_{1}},$$
$$\frac{a_{2}}{b_{2}} > \frac{c_{2}}{d_{2}}$$
no son suficientes para la fuerza
$$\frac{a_{1}+a_{2}}{b_{1}+b_{2}} > \frac{c_{1}+c_{2}}{d_{1}+d_{2}}$$
deje $a_1,b_1,c_1,d_1,a_2,b_2,c_2,d_2$ ser dada por
$$
a_1 = 1,\;\; b_1 = 2,\;\; c_1 = 3,\;\;d_1 = 7,\;\;
a_2 = 1,\;\; b_2 = 5,\;\; c_2 = 1,\;\;d_2 = 6
$$
Entonces
$$\frac{a_1}{b_1} = \frac{1}{2} > \frac{3}{7} = \frac{c_1}{d_1}$$
$$\frac{a_2}{b_2} = \frac{1}{5} > \frac{1}{6} = \frac{c_2}{d_2}$$
$$\text{but}$$
$$
\frac{a_1 + a_2}{b_1 + b_2}
= \frac{1 + 1}{2 + 5}
= \frac{2}{7}
< \frac{4}{13}
= \frac{3 + 1}{7 + 6}
= \frac{c_1 + c_2}{d_1 + d_2}
$$
Sin embargo, para los números reales positivos $x_1,...,x_n$$y_1,...,y_n$, siempre tenemos
$$
\min\left\{\frac{x_i}{y_i}\right\}
\le \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}y_{i}}
\le \max \left\{\frac{x_i}{y_i}\right\}
$$
Para justificar la anterior afirmación, vamos a
$$m = \min\left\{\frac{x_i}{y_i}\right\}$$
$$M = \max\left\{\frac{x_i}{y_i}\right\}$$
Entonces
$$m
\;\;\le\;\;
\frac{x_i}{y_i}
\;\;\le\;\;
M\;\;\text{ para todo }$$
$$
\implica\;
my_i
\;\;\le\;\;
x_i
\;\;\le\;\;
My_i
\;\;\text{ para todo }i
\qquad\;\;\;\;
$$
$$
\implica\; m\sum_{i=1}^{n}y_i
\;\;\le\;\;
\sum_{i=1}^{n}x_i
\;\;\le\;\;
M\sum_{i=1}^{n}y_i
\qquad\qquad\qquad
$$
$$
\implica\; m \;\;\le\;\; \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}y_{i}} \;\;\le\;\; M
\qquad\qquad\qquad
$$
$$
\implica\;
\min\left\{\frac{x_i}{y_i}\right\}
\;\;\le\;\;
\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}y_{i}}
\;\;\le\;\;
\max \left\{\frac{x_i}{y_i}\right\}
\qquad\qquad\qquad
$$
como se reivindica.
Por lo tanto, para la pregunta en cuestión, si
$a_1,...,a_n$ $b_1,...,b_n$
son los números reales positivos, la condición
$$\min\left\{\frac{a_i}{b_i}\right\} > \max\left\{\frac{c_i}{d_i}\right\}$$
sería suficiente$\,-\,$incluso sin otras condiciones, a la fuerza
$$\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{\sum_{i=1}^{n}b_{i}} > \frac{\sum_{i=1}^{n}c_{i}}{\sum_{i=1}^{n}d_{i}}$$
ya que en ese caso,
$$
\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{\sum_{i=1}^{n}b_{i}}
\ge
\min\left\{\frac{a_i}{b_i}\right\} > \max\left\{\frac{c_i}{d_i}\right\}
\ge
\frac{\sum_{i=1}^{n}c_{i}}{\sum_{i=1}^{n}d_{i}}
$$
