¿Por qué es finito el conjunto vacío?

Question

En la página 25 de Principles of Mathematical Analysis (ed. 3) de Rudin, se encuentra la definición (excluyendo las partes irrelevantes para esta pregunta):

Definición 2.4: Para cualquier entero positivo $n$, sea $J_n$ el conjunto cuyos elementos son los enteros $1,2,...,n$; sea $J$ el conjunto que consiste en todos los enteros positivos. Para cualquier conjunto $A$, decimos:

(a) $A$ es finito si $A \thicksim J_n$ para algún $n$ (el conjunto vacío también se considera finito).

No estoy seguro de por qué se considera que el conjunto vacío es finito. Dada la definición, para que el conjunto vacío sea finito, entonces $\emptyset \thicksim J_n$ para algún $n$.

El problema es que para que haya equivalencia, tiene que existir una correspondencia uno a uno de $\emptyset$ en $J_n$. $\emptyset$ no tiene elementos para corresponder y dado que la definición requiere que $n \in J$, $J_n$ siempre tendrá al menos un elemento.

Entonces, mi pregunta es: ¿Por qué se considera que el conjunto vacío es finito?

Answer 1

Esa definición es un ejemplo (raro) de Rudin haciendo las cosas de manera ineficiente. Podría haber definido $J_n$ para cada entero no negativo $n$ como el conjunto de enteros no negativos menores que $n$, de modo que $J_0=\varnothing$, $J_1=\{0\}$, $J_2=\{0,1\}$, etc. Luego podría haber definido un conjunto $A$ como finito si y solo si $A\sim J_n$ para algún $n\in\Bbb N$ (donde $\Bbb N$ incluye al $0$). Esto es esencialmente la definición usual en teoría de conjuntos despojada de algunos detalles teóricos que estarían fuera de lugar aquí.

Answer 2

La observación entre paréntesis simplemente está diciendo que formalmente la definición de conjunto finito no se aplica al conjunto vacío, pero por convención se considera que el conjunto vacío es finito.

Si esto te molesta, nota que es posible definir un conjunto como infinito precisamente cuando existe un subconjunto propio de él con una biyección al conjunto. Esto captura de una vez lo que significa ser infinito.

Answer 3

Lo que están diciendo aquí es que el conjunto vacío se considera finito por convención, o por una razón diferente. Si fueran más precisos, habrían dicho que un conjunto es finito si está vacío o está en biyección con algún $J_n$.

Supongamos en general que para enteros no negativos $n$ definimos $J_n$ como el conjunto de enteros positivos no mayores que $n$. Esto ciertamente coincide con la definición dada para $J_n$ cuando $n\ge 1$, ¿pero qué pasa cuando $n=0$? Bueno, no hay enteros positivos no mayores que $0$, ¡así que $J_0=\emptyset$! Ciertamente el conjunto vacío está en biyección consigo mismo. De esa manera, podemos extender la definición de finito, sin depender de un "simplemente aceptarlo" en el caso del conjunto vacío.

Answer 4

Sabemos que un conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos. Si un conjunto vacío es infinito, ¿cómo puede ser subconjunto de todos los conjuntos? Por lo tanto, un conjunto vacío debe ser finito.