¿Es mi comprensión de los pesos y los espacios de peso de las subalgebras de$\mathfrak{gl}(V)$ correcto?

Question

Estoy aprendiendo acerca de los pesos de subalgefbras de $\mathfrak{gl}(V)$ donde $V$ es un espacio vectorial sobre algún campo $\mathbb{F}$.

La definición que he leído de los estados

Deje $M$ ser una subalgebra de $\mathfrak{gl}(V)$. Un peso de $M$ es lineal en el mapa de $\lambda : M\rightarrow\mathbb{F}$ tal que $V_\lambda := \left\{ v\in V\mid A(v)=\lambda(A)\cdot v \quad \forall A\in M \right\}$ es un no-cero subespacio de $V$. A continuación, $V_\lambda$ se llama un peso subespacio asociado con el peso de la $\lambda$.

Así que estaba pensando en esta definición un poco, y me recordó de autovectores y autovalores de álgebra lineal. Pensé entonces en un poco más y me encontré con que, en cierto modo, el peso subespacio es un conjunto de "global vectores propios" para $M$. Por que me refiero a todos los vectores en el peso subespacio se correlacionan con múltiplos escalares de sí mismos por todos los elementos de a $M$. Entonces, el peso de la $\lambda:M\rightarrow \mathbb{F}$ da el "autovalor asociado" correspondiente a $A\in M$.

Me preguntaba si esta visión es correcta (o útil) en la comprensión de esta noción particular, o tengo el lado equivocado de la vara?

Gracias,

Andy.

Answer 1

Sí, eso es exactamente correcto. Cada una de las $V_\lambda$ es un simultánea espacio propio para cada lineales en mapa $M$. $\lambda$ es la función que asigna a cada lineal mapa en $M$ el autovalor asociado a su acción sobre vectores en $V_\lambda$.

Este ejemplo puede ser útil: Tome $V = \mathbb C^3$ y tomar $$M = \left\{ \left( \begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array} \right)\in \mathfrak{gl}(V) \mid a+ b+ c = 0 \right\} .$$ (Esto es realmente un Cartan subalgebra de $\mathfrak{sl}_3 \mathbb C$, por el camino.)

Los tres simultánea subespacios propios son $$ V_{\lambda_1} = \mathbb C \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) , \ \ \ V_{\lambda_2} = \mathbb C \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), V_{\lambda_3} = \mathbb C \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right), $$ y los pesos, las cuales son funciones de la asignación de cada matriz en $M$ a su autovalor cuando actúa en el espacio correspondiente, se $$ \lambda_1 : \left( \begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array} \right) \mapsto a,$$ $$ \lambda_2 : \left( \begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array} \right) \mapsto b,$$ $$ \lambda_3 : \left( \begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array} \right) \mapsto c,$$

Tenga en cuenta que en este ejemplo, $a + b+ c = 0$ para todas las matrices en $M$. Por lo tanto, $$ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0.$$ tan sólo dos de los tres pesos son linealmente independientes. Esta "dependencia entre los pesos" es una característica común de los pesos de álgebras de Lie.