Consideremos un conjunto A. ¿Podemos demostrar que existe al menos una operación * tal que bajo ella el conjunto forma un grupo? ¿Puedo saber cómo enfocar esta cuestión?
Respuestas
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zarathustra
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3302
Vea esto: http://mathoverflow.net/questions/12973/does-every-non-empty-set-admit-a-group-structure-in-zf
Es equivalente al axioma de elección que todo conjunto no vacío tiene una estructura de grupo.
Goethe
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18
Puedo hacer algo mejor. Todos los conjuntos tienen una estructura de anillos (algo natural). Seguro que sabes lo que hay que hacer con los conjuntos finitos. Supongamos ahora que $X$ es un conjunto infinito, y sea $S$ denotan el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $X$ . Entonces, es fácil demostrar que $S$ es un anillo en el que la suma es la diferencia simétrica y la multiplicación es la intersección. Como $\#(X)=\#(S)$ se puede encontrar una biyección $f:S\to X$ y así empujar la estructura del anillo a $X$ .
Mike Cole
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173
No me queda claro por qué precisamente querrías hacer esto, pero la respuesta es SÍ. Asumiendo el axioma de elección (que se hace en la mayor parte de las matemáticas convencionales, pero puede que no se haga en las partes más fundacionales) tu pregunta es equivalente a preguntar si hay un grupo de la misma cardinalidad que $A$ .
Si $A$ es finito, con una cardinalidad digamos $m$ entonces se tiene un grupo finito con la misma cardinalidad: a saber, el grupo cíclico de orden $m$ que a veces se escribe $C_m$ o $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ .
Si $A$ es infinito con cardinalidad $\alpha$ Entonces puedes usar el hecho de que las cardinalidades infinitas son bastante "persistentes" bajo varias operaciones. Si $G$ es su grupo finito favorito, entonces el grupo $\bigoplus_{\iota < \alpha} G$ (suma directa de $\alpha$ copias de $G$ ) tiene la misma cardinalidad que $A$ . (Dicha suma directa se compone de secuencias $(x_\iota)_{\iota < \alpha}$ con $x_\iota = e_G$ para todos los casos, excepto para un número finito de $\iota$ . La operación de grupo es sólo la operación puntual)
Para no ser superado por Alex, permítanme mencionar que $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ es en realidad un anillo. Además, una suma directa de $\alpha$ copias de un anillo finito dado es un anillo con cardinalidad $\alpha$ , para $\alpha \geq \aleph_0$ . Así que lo anterior puede adaptarse para mostrar que $A$ puede recibir una estructura de anillo. Por supuesto, el argumento de Alex es más elegante para hacer esto.
jmans
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3018
Las respuestas ya están dadas, pero ya que has preguntado cómo debes enfocar esto, intentaré abordar esa cuestión.
Lo primero que hay que entender es que si tienes una biyección $f:A\to B$ entre dos conjuntos cualesquiera, entonces cualquier estructura de grupo en $A$ puede ser transferido a lo largo de $f$ a una estructura de grupo en $B$ . Más concretamente, existe precisamente una estructura de grupo en $B$ para lo cual $f$ es un homomorfismo de grupo (necesariamente isomorfismo). Si esto no te queda claro, dedica algo de tiempo a demostrarlo.
Ahora, la pregunta se convierte en equivalente a, dada cualquier cardinalidad $\kappa$ (que no sea $\kappa = 0$ ), ¿existe algún conjunto de esa cardinalidad que soporte una estructura de grupo. (Bajo el axioma de elección,) cada conjunto tiene una cardinalidad y por lo tanto si para cada cardinalidad hay algún grupo de esa cardinalidad entonces, utilizando el resultado anterior, cada conjunto soporta una estructura de grupo (al elegir una biyección, por lo que el axioma de elección se utiliza de nuevo).
Por tanto, todo se reduce a construir grupos de todas las cardinalidades posibles. Las finitas se resuelven fácilmente con los grupos cíclicos finitos. Los infinitos se construyen tomando productos de un número suficiente de grupos finitos, utilizando las reglas básicas de la aritmética cardinal (asumiendo de nuevo el axioma de elección).
