Integración de fracción de alto orden; Explicación del método.

Question

Entiendo los casos en que la orden es menor o igual a 3 (ejemplo donde es tres dividimos numerador con A, B, C), pero en este caso (Ejemplo 8) no veo por qué dividimos el numerador con A, Bx C, Dx E, por qué agregamos x, y no usamos ABC, D, E solo. Supongo que lo que estoy preguntando es cómo encontrar la descomposición parcial de la fracción.

Answer 1

Hay dos cosas que están pasando aquí. En primer lugar está el problema de que cuando un factor se repite, el viento hasta la necesidad de un plazo para ello con cada uno de los grados, hasta el número de repeticiones. El segundo es el problema de que cuando tenemos una irreductible cuadrática factor, su numerador debe ser lineal en lugar de constante.

Ambos de estos provienen básicamente del "usted no puede representar el numerador de la manera correcta lo contrario". Vamos a empezar por mirar un simple ejemplo de que el segundo problema. Considerar la descomposición de la

$$\frac{2x^2+1}{x^3+x}.$$

Factor del denominador y consigue $x(x^2+1)$. Supongamos que ahora intenta escribir el numerador como $Ax+B(x^2+1)$. Usted no puede hacerlo; para obtener el coeficiente cuadrático y el coeficiente constante para ambos coinciden, usted necesitaría $B$ ambos $1$$2$, lo cual es imposible. De hecho, en términos de variables de conteo, este debe tener sentido, porque el numerador puede ser de cualquier ecuación cuadrática, la cual es definida en términos de tres coeficientes, pero de esta forma sólo tiene dos coeficientes desconocidos.

Si en lugar de tratar de escribir el numerador como $(Ax+B)x+C(x^2+1)$, entonces usted puede hacer: ahora tiene tres variables y tres ecuaciones, a saber $A+C=2$, $B=0$, $C=1$ (ir a través de los términos de grado dos, uno y cero).

El problema es muy similar con la repetición de los factores. De nuevo vamos a tratar de descomponer

$$\frac{2x^2+2x+1}{x^2(x+1)}.$$

De nuevo, si usted intenta escribir el numerador como $A(x+1)+Bx^2$, no se puede hacer: usted necesitaría $A=2$ $A=1$ al mismo tiempo. Pero si se escribe como $A(x+1) + Bx + Cx^2$, todo funciona. Como en el caso anterior, el numerador puede ser de cualquier cuadrática (tres coeficientes), por lo que necesita los tres coeficientes en orden para que todo coincida.

Una más astuto forma de ver esto es considerar cómo hice estos ejemplos, en primer lugar: yo empecé de $\frac{1}{x} + \frac{x}{x^2+1}$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x+1}$ y luego "peinar" la fracción parcial de la descomposición. Siguen viento en el formulario donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo que no debe ser más complicado que en los casos simples.

Answer 2

Simplemente, no todas las funciones pueden escribirse en la forma indicada sin los términos$x$ en el numerador. Por ejemplo, considere la expresión$$\frac{x}{x^2 + 1}.$ $ Ciertamente esto no se puede escribir en la forma$$\frac{A}{x^2 + 1}:$ $ cross-multiplying daría$A = x$, pero$A$ es una constante.

Alternativamente, y prácticamente, podemos ver que, incluso para el ejemplo anterior, sin términos en$x$, no habría solución al sistema dado en los coeficientes$A, B, C, D, E$.