La suma de tres números primos consecutivos es $173$

Question

Si te digo que la suma de tres números primos consecutivos es $173$ ¿con qué rapidez podríamos encontrar el mayor de estos números?

Answer 1

Tan rápido como puedo sumar los primeros primos en tríos para buscarlos en la OEIS y obtener el resultado adecuado. He buscado 10, 15, 23, 31, 41 que me dio http://oeis.org/A034961 entrada de la secuencia para sumas de tres primos consecutivos.

Luego hice clic en el enlace de la "lista" y vi 173 a la derecha del 16. Esto significa que los primos 16, 17 y 18 suman 173. El 16º primo es 53, así que entonces verifico que 53 + 59 + 61 = 173, lo que significa que el mayor de estos números es 61.

Si no existiera la OEIS, esto podría hacerse con bastante rapidez, ya que 173 es realmente un número bastante pequeño. 173 dividido por 3 es aproximadamente 57,7, y como, de nuevo, 173 es un número pequeño, los tres primos que buscamos deberían estar bastante cerca de 57,7.

El mayor primo por debajo de 57,7 es 53, y el menor por encima es 59, así que podemos empezar probando con 47 + 53 + 59 y 53 + 59 + 61; el primero se queda corto, el segundo es la respuesta. Si tienes los primos del 2 al 97 y tienes una calculadora, probablemente puedas obtener la respuesta por este método en un par de minutos, si es que lo haces.

Answer 2

Depende de lo que sepas sobre la distribución de los pequeños primos. Si $a,b$ son primos consecutivos con $a<b\leq 89$ entonces $b-a\leq 6.$

Si $p,q,r$ son primos consecutivos con $p<q<r$ y $p+q+r=173$ entonces $q\leq 83.$ De lo contrario, $q\geq 89,$ pero entonces $p+q+r>q+r>2 q\geq 178.$ Así que $r\leq 89.$

Por lo tanto, $q\leq p+6$ y $r\leq q+6\leq p+12.$ $$\text {Hence }\quad 173=p+q+r\leq p+(p+6)+(p+12)=3 p+18,$$ $$\text {giving }\quad p\geq 155/3.$$ $$\text {Also } \quad 173=r+q+p\geq r+(r-6)+(r-12)=3 r-18,$$ $$\text {giving }\quad r\leq 191/3.$$ Hay exactamente $3$ primos en el intervalo $[155/3,191/3],$ y son $53,59,61.$

No es así como lo resolví en mi cabeza. Simplemente "miré por el barrio" de $173/3$ .

Answer 3

Al menos uno de los primos es como máximo $173/3 < 58 $ y, por lo tanto, sólo hay que probar hasta $53$ para encontrar el primo más pequeño de esa secuencia.

Resulta que $53$ , $59$ , $61$ es la solución.