Demuestre que$\lim_{x \to \frac{2}{\pi}}\lfloor \sin \frac{1}{x} \rfloor=0$ en la forma$\epsilon$ -$\delta$

Question

Dado:$$\lim_{x \to \frac{2}{\pi}}\lfloor \sin \frac{1}{x} \rfloor=0$ $

¿Cómo probar este límite usando el$\epsilon$ -$\delta$ way? (El mayor problema es encontrar$\delta$)

Answer 1

Respuesta Original de cuando la pregunta era para el límite de $x\to \pi/2$:

$\frac{1}{\pi/2}\approx 0.6$, en $(0,\pi/2)$, así que hay todo un barrio de $\pi/2$ que $\lfloor \sin(1/x)\rfloor = 0$. Por lo tanto, el límite es de $0$.

Por ejemplo, usted puede tomar $\delta=1/2$. Al $x$ varía entre el $\frac{\pi}2-\frac12$ y $\frac\pi2+\frac12$, $1/x$ variará entre ~0.93 y ~0.48, y todos los de esta gama se encuentra en $(0,\pi/2)$ $\lfloor\sin(1/x)\rfloor=0$ en todas partes en este rango.

Para la edición pregunta: Esto no es tan simple, debido a que $\lfloor \sin(1/x)\rfloor$ $1$ al $x=2/\pi$. Pero, afortunadamente, lo que la $\varepsilon$-$\delta$ definición dice que es justo que debemos tener $|f(x)-L|<\varepsilon$ al $0<|x-x_0|<\delta$. Por lo que la desigualdad en realidad no se necesita para mantener for $x=2/\pi$ sí. Y en todas partes más en las inmediaciones de $2/\pi$ todavía tenemos $\lfloor \sin(1/x)\rfloor=0$.

Así que todavía podemos adivinar sólo en una $\delta$. Resulta que $\delta=1$ o $\delta=1/2$ no funcionan, pero los $\delta=1/4$ hace: Al $x$ varía entre el $\frac2\pi-\frac14$ y $\frac2\pi+\frac14$, $1/x$ variará entre ~2.59 y ~1.12. Todos los valores en ese intervalo, excepto para $\pi/2$ tienen senos estrictamente entre 0 y 1, por lo que en realidad tenemos $\lfloor \sin(1/x)\rfloor=0$ no.

Si adivinando es demasiado indigna, el ejemplo muestra que la primera cosa que va mal si utilizamos demasiado grande $\delta$ es que el $\frac{1}{2/\pi-\delta}$ se convierte en más de $\pi$, donde nuestra función se convierte en $-1$ en lugar de $0$. Así que si queremos encontrar el mayor $\delta$ que funciona, podemos resolver $$ \frac{1}{2/\pi-\delta} = \pi $$ para $\delta$, produciendo $\delta=1/\pi$. Pero no hay un sentido real en el que $\delta=1/\pi$ es una mejor respuesta de $\delta=1/4$.

Incluso se podría hacer la adivinación menos cuidado, y sólo decir $\delta=0.000001$ y calcular el rango resultante de $1/x$, la cual luego será fácil mantenerse dentro de $(0,\pi)$.

Answer 2

Tomar $\delta=\frac{\pi}{8}$. Porque$\frac{\pi}{8}<\frac{2}{\pi}<\frac{\pi}{4}$ y así$\frac{1}{x}$ siempre estará entre 0 y$\frac{\pi}{2}$.