Para cada intervalo$I$ in$\mathbb R$, existe una sobrejección continua de$I \setminus \mathbb Q$ a$I \cap \mathbb Q$?

Question

¿Es cierto que para cada intervalo (no singleton)$I$ en$\mathbb R$, existe una sobrejección continua$f : I \setminus \mathbb Q \to I \cap \mathbb Q$?

Answer 1

Lo mostraré para$I=[0,1]$. Tome$$ f\colon I\setminus \Bbb{Q} \to I \cap \Bbb{Q} $ $ como la función constante con el valor$\varphi (n)$ on$[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ donde$\varphi \colon \Bbb{N} \to \Bbb{Q}\cap I$ es cualquier surjection.

Esta función es sólo "discontinua" en puntos racionales, por lo que$f$ es continua y por construcción$f$ es surjective.

Para el caso general, solo ajuste$[0,1]$ en su intervalo favorito y extienda la función por$0$ a la izquierda ya la derecha.