Grupo $\mathbb Q^*$ como producto/suma directa

Question

¿Es el grupo $\mathbb Q^*$ (racionales sin $0$ bajo multiplicación) un producto directo o una suma directa de subgrupos no triviales?

Mis pensamientos:

Considerar los subgrupos $\langle p\rangle=\{p^k\mid k\in \mathbb Z\}$ generado por un primo positivo $p$ y $\langle -1\rangle=\{-1,1\}$ .

Son normales (porque $\mathbb Q^*$ es abeliana), se cruza en $\{1\}$ y cualquier $q\in \mathbb Q^*$ se escribe de forma única como cociente de potencias de primos (finitos).

Así que, creo que $\mathbb Q^*\cong \langle -1\rangle\times \bigoplus_p\langle p\rangle\,$ donde $\bigoplus$ es la suma directa.

Y simplemente podemos escribir $\mathbb Q^*\cong \Bbb Z_2\times \bigoplus_{i=1}^\infty \Bbb Z$ .

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Sí Tienes razón.

Su afirmación se puede generalizar al grupo multiplicativo $K^*$ del campo de la fracción $K$ de un dominio de factorización único $R$ . ¿Ves cómo?

De hecho, si no me equivoco se deduce de esto que para cualquier campo numérico $K$ El grupo $K^*$ es el producto de un grupo cíclico finito (el grupo de raíces de la unidad en $K$ ) con un grupo abeliano libre de rango contable, así que de la forma

$K^* \cong \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$ $\Z/n\Z \oplus \bigoplus_{i=1}^{\infty} \Z.$

Aquí no basta con tomar la opción más obvia de $R$ , es decir, el anillo completo de enteros en $K$ porque esto podría no ser un UFD. Pero siempre se puede elegir un $S$ -anillo entero (obtenido a partir de $R$ invirtiendo un número finito de ideales primos) con esta propiedad y luego aplicar el Teorema de la Unidad S de Dirichlet.