Span de la matriz de Vandermonde Infinito?

Question

P1: ¿existe $x \in (0,1)^\mathbb{N}$ tal que para cualquier disminución de $v \in (0,1)^\mathbb{N}$ que converge a $0$ (es decir, $v_{n+1} < v_n$$v_n \rightarrow 0$), no es $a \in (0,1)^\mathbb{N}$ con: $$\begin{array}{lll} \sum a_n & =& v_0\\ \sum a_n x_n& = &v_1\\ \sum a_n x^2_n & = &v_2\\ \mbox{etc.}&& \end{array}$$

Equivalentemente, pensar en un infinito de Vandermonde de la matriz con los coeficientes de $x \in (0,1)^\mathbb{N}$
$$V(x) = \left( \begin{array}{llllll} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & \cdots\\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n & \cdots\\ x^2_1 & x^2_2& x^2_3 & \cdots & x^2_n & \cdots\\ \vdots &\vdots&\vdots & \ddots &\vdots & \vdots\\ x_1^m & x^m_2 &x^m_3 & \cdots & x^m_n & \cdots\\ \vdots &\vdots&\vdots & \ddots &\vdots & \vdots \end{array} \right)$$ (donde superscrits representan los exponentes y no sólo la posición de fila) y preguntar si es $x \in (0,1)^\mathbb{N}$ tal que para cualquier decreciente y convergente (a $0$) $v \in (0, 1)^\mathbb{N}$, no es $a \in (0, 1)^\mathbb{N}$ satisfacción $V(x) \cdot a= v$.

Intuitivamente, $x$ no puede ser elegido arbitrariamente. Sospecho que la respuesta positiva requiere de $x$ a ser tal que $\{x_n \in (0,1) : n\in\mathbb{N}\}$ es denso en $(0,1)$.

Como siempre, gracias a todos por su ayuda.

Answer 1

Editar: Esta respuesta se refiere a una versión anterior de la pregunta.

La respuesta a Q1 es no : Si hay$a,x\in (0,1)^{\mathbb N}$ tal que $$\ sum a_n = \ nu_0, \ \ suma a_nx_n = \ nu_1$$ entonces esto implica$\nu_1<\nu_0$ if$a\ne0$ Dado que$x_n\in(0,1)$, tiene para todos$a_n>0$:$a_nx_n < a_n$. En resumen, los rendimientos$\nu_1<\nu_0$.