Induced Riemannian métrico

Question

Soy nuevo en la geometría diferencial y sólo he empezado a leer sobre métricas de Riemann. Tengo el siguiente problema de Jost.

Equipamos $\mathbb{R}^{n+1}$ con el producto interior $$\langle x,y \rangle = -x^0 y^0 + x^1y^1 + \cdots + x^ny^n$$ for $x = (x^0, x^1, ..., x^n)$ and $y= (y^0, y^1, ..., y^n)$. Set $$H^n = \{ x \in \mathbb{R}^{n+1} \ : \ \langle x,x \rangle = -1, \ x^0 > 0 \}.$$ I want to show that $\langle \cdot, \cdot \rangle$ induces a Riemannian metric on the tangent spaces $T_p H^n \subconjunto T_p \mathbb{R}^{n+1}$ for $p \in H^n$.

Si hay cualquier entorno comentario que le gustaría agregar finalidades pedagógicas que sería muy apreciada. Tengo una feria de fondo en los colectores, pero principalmente desde la perspectiva de análisis complejo.

Answer 1

El punto principal aquí es el hecho de que uno puede identificar$T_{H,p}$ con$p^{\perp}$ (con respecto a su métrica!). Una vez hecho esto, podemos notar que el producto interno, restringido a$p^{\perp}$, es positivo definido (a través del Teorema de Sylvester).

Ahora, ¿por qué es posible tener esa identificación?

Sea$c(t)$ una curva (suave) en H tal que$c(0)=p$. Entonces tenemos ese$\langle c(t),c(t)\rangle=-1$. Por lo tanto, diferenciando obtenemos$2\langle c'(0),p\rangle = 0$. Ahora H es n-dimensional, por lo que la afirmación es válida.