Parece que uno podría definir homotopy casi todos en la categoría de la teoría de la siguiente manera:
Deje $T$ ser un terminal de objetos y $I$ ser algún objeto. Deje $i_0,i_1:T\rightarrow I$ dos mapas. Supongamos que $f,g:X\rightarrow Y$ son dos morfismos. Deje $\pi:X\times T\rightarrow X$ ser la adecuada proyección de mapa. Llame a $X$ $Y$ homotópica si hay un morfismos $h:X\times I\rightarrow Y$ tal que $$h\circ (\operatorname{id}_X\times i_0)=f\circ \pi$$ $$h\circ (\operatorname{id}_X\times i_1)=g\circ \pi$$
Se puede ver que si elegimos $I$ a ser la unidad de intervalo, y $i_0$ $i_1$ a los mapas de envío de un solo punto a cualquiera de los extremos del intervalo, entonces esta es la noción usual de homotopy de equivalencia.
Sin embargo, yo me encuentro preocupado por el aparente necesidad de elegir a $I$ y los mapas de $i_0$$i_1$. Me parece recordar que he leído que hay algunos categoría teórica de la propiedad que identifica el intervalo como la opción adecuada para homotopy, pero me parece no puede encontrar cualquier (accesible) la referencia que hace este tipo de construcción.
¿Por qué es el intervalo de tiempo utilizado como $I$ en esta construcción?
Mi principal motivación para preguntar esto, es que estoy interesado en las nociones que parecen muy similares a homotopy y que pueden ser definidos en otras categorías usando las opciones de $I$$i_0$$i_1$ -, pero me gustaría saber si hay algo más profundo propiedad debería estar buscando al hacer tal elección.
