Uno mismo-energía de un electrón

Question

En su papel de 1947, Bethe afirma que la uno mismo-energía de un electrón en un estado cuántico $m$, debido a su interacción con las ondas electromagnéticas transversales es

$$W = -\frac{2e^2}{3\pi\hbar c^3}\sum_{n}\int_0^K\mathrm{d}k\,\frac{k\,|v_{mn}|^2}{E_n-E_m+k}$$

donde $v_{mn}$ es el elemento de la matriz del operador velocidad.

Él dice que esto es el resultado de la teoría de radiación normal. ¿Alguien puede publicar (o a punto) una derivación de este resultado?

Answer 1

[Nota: pondré $c=\hbar=\varepsilon_0=1$ en esta respuesta, porque yo no puedo por la vida de mí recordar a donde ir y estoy haciendo esto por la parte superior de mi cabeza.]

Este es un resultado en la teoría de la perturbación. Considere la posibilidad de un Hamiltoniano $H_0$ por lo que podemos saber exactamente el espectro (un tal Hamilton podría ser el Hamiltoniano para un hidrógeno como el átomo, que es el caso aquí), y otro de Hamilton $H$ dada por

$$H=H_0+\varepsilon V,$$

donde $V$ se considera algún tipo de interacción de Hamilton y $\varepsilon$ es una "pequeña" parámetro de caracterización de la fuerza de esta interacción o la perturbación.

Ahora, sabemos que los estados propios y valores propios de a $H_0$, vamos a llamarlos $|n^{(0)}\rangle$ $E_n^{(0)}$ para algunos el índice de $n$. Además, vamos a denotar por $|n\rangle$ $E_n$ la exacta estados propios y valores propios del Hamiltoniano completo $H$. Por último, desde el $H\to H_0$$\varepsilon\to 0$, vamos a Taylor expandir $|n\rangle$ $E_n$ en potencias de $\varepsilon$

$$|n\rangle=\sum_{k=0}^{\infty}\varepsilon^k|n^{(k)}\rangle\sim |n^{(0)}\rangle+\varepsilon|n^{(1)}\rangle+\cdots\\ E_n=\sum_{k=0}^{\infty}\varepsilon^kE_n^{(k)}\sim E_n^{(0)}+\varepsilon E_n^{(1)}+\varepsilon^2 E_n^{(2)}+\cdots.$$

Esta es esencialmente la idea de la teoría de la perturbación. Podemos derivar explicite fórmulas para la mayor correcciones de los autoestados y energías mediante la resolución de la ecuación de $H|n\rangle=E_n|n\rangle$ en cada pedido en $\varepsilon.$ Por ejemplo, y en primer orden tenemos

$$H_0|n^{(0)}\rangle+\varepsilon V|n^{(0)}\rangle+\varepsilon H_0|n^{(1)}\rangle+\mathcal{O}(\varepsilon^2)=E_n^{(0)}|n^{(0)}\rangle+\varepsilon E_n^{(1)}|n^{(0)}\rangle+\varepsilon E_n^{(0)}|n^{(1)}\rangle+\mathcal{O}(\varepsilon^2).$$

Tomando nota de que $H_0|n^{(0)}\rangle=E_n^{(0)}|n^{(0)}\rangle$, por definición, y de actuar en ambos lados con $\langle m^{(0)}|$ da

$$\varepsilon\langle m^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle+\mathcal{O}(\varepsilon^2)=\varepsilon E_{n}^{(0)}\delta_{m,n}+\mathcal{O}(\varepsilon^2).$$

Finalmente, exigiendo que los términos de la misma orden en la $\varepsilon$ son iguales (desde la serie de Taylor es único) nos da $E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$. Es decir, la primera orden de corrección para las energías están dadas por la diagonal términos en $V$.

Si continuamos este proceso y encontró el segundo de la orden de corrección, nos íbamos a encontrar

$$E_{n}^{(2)}=\sum_{m\neq n}\frac{|\langle m^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}.$$

Esto es esencialmente exactamente lo Bethe hizo. Él utilizó la teoría de la perturbación en un sistema donde la $H_0$ es la suma de la de hidrógeno-como la de Hamilton y el libre campo electromagnético, mientras que $V$ es un operador que representa la interacción entre el electrón y el campo electromagnético. Estos Hamiltonianos son

$$H_0=\frac{\textbf{p}^2}{2m}-\frac{e^2}{4\pi r}+\frac{1}{2}\int\mathrm{d}^3\textbf{r}\,\left(|\textbf{E}(\textbf{r})|^2+|\textbf{B}(\textbf{r})|^2\right)\\ V=\frac{e}{m}\left(\textbf{p}\cdot\textbf{A}(\textbf{r})+\textbf{A}(\textbf{r})\cdot\textbf{p}\right)+\frac{e^2}{2m}|\textbf{A}(\textbf{r})|^2-e\phi(\textbf{r}),$$

donde $\textbf{A}$ es el vector potencial y $\phi$ es el potencial electrostático (la interacción está dada por la costumbre de reemplazo de $\textbf{p}\to\textbf{p}-q\textbf{A}$ libre de Hamilton $H_0$). Ahora podemos elegir un calibre, así que vamos a escoger el gauge de Coulomb ($\boldsymbol{\nabla}\cdot\textbf{A}=0$, $\phi=0$). Si tenemos la transformada de Fourier del vector potencial como

$$\textbf{A}(\textbf{r})=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\textbf{k}}\sum_{\alpha=1}^{2}\left[a^{(\alpha)}_{\textbf{k}}\boldsymbol{\epsilon}^{(\alpha)}(\textbf{k})e^{i\textbf{k}\cdot\textbf{r}}+\text{h.c.}\right],$$

donde $V$ es el volumen de espacio, $\boldsymbol{\epsilon}^{(\alpha)}(\textbf{k})$ son vectores de polarización, y $\textbf{k}$ es el número de onda de Fourier, entonces, señalar que el gauge de Coulomb requiere de $\textbf{k}\cdot\boldsymbol{\epsilon}^{\alpha}(\textbf{k})=0$, la electromagnética parte de la Hamiltoniana se convierte en

$$H_0=\cdots +\sum_{\textbf{k}}\sum_{\alpha=1}^{2}\frac{\omega_{\textbf{k}}}{2}\left(a^{(\alpha)\dagger}_{\textbf{k}}a^{(\alpha)}_{\textbf{k}}+a^{(\alpha)}_{\textbf{k}}a^{(\alpha)\dagger}_{\textbf{k}}\right).$$

(Tenga en cuenta que el $\cdots$ sólo representa el electrón parte que no nos interesa por el momento). Aquí, $\omega_{\textbf{k}}\equiv|\textbf{k}|$. Este Hamiltoniano es sólo una colección infinita de osciladores Armónicos marcados por los ímpetus $\textbf{k}$ y polarizaciones $\alpha$. Los estados propios de un determinado número de onda $\textbf{k}$ y la polarización $\alpha$ tienen igual energía espaciado con energía $\omega_{\textbf{k}}$. Estos estados son interpretados como los fotones.

Bienvenido a la Teoría Cuántica de campos!

Los autoestados de $H_0$ son etiquetados por $|n,m,\ell\rangle\otimes|\textbf{k},\alpha\rangle$ donde $|n,m,\ell\rangle$ es el típico estado de un electrón en un orbital en un hidrógeno como el átomo y $|\textbf{k},\alpha\rangle$ representa un fotón de número de onda (impulso) $\textbf{k}$ y la polarización $\alpha$. El resultado de Bethe dio es simplemente obtenidas mediante la perturbación de segundo orden expansión en el estado de $|n,m,\ell\rangle$ (un electrón con ningún fotones) con la interacción Hamiltoniano dado anteriormente. Además, si se desea calcular usted mismo, usted puede encontrar los siguientes reemplazos útil:

$$\delta_{\textbf{k},\textbf{k}'}\\frac{(2\pi)^3}{V}\delta(\textbf{k}-\textbf{k}')\\ \sum_{\textbf{k}}f(\textbf{k})\a\frac{V}{(2\pi)^3}\int\mathrm{d}^3\textbf{k}\,f(\textbf{k}).$$

Estas son las reglas estándar para convertir sumas en las integrales al considerar los ímpetus.

Finalmente, el límite superior $K$ en la integral es lo que se conoce como un UV de corte. Básicamente, la idea es que el integral con $K\to\infty$ es divergente, y por lo tanto existe una necesidad de cortar la integral de descuento en algún momento. Normalmente, este punto es donde la teoría deja de tener sentido o no puede hacer predicciones, pero Bethe simplemente tomó el punto a se $1/r_e$ donde $r_e$ es la clásica de electrones de la radio. Hoy en día, el tratamiento de estas clases de infinito integrales con un tratamiento sistemático conocido como renormalization, que tiene como objetivo hacer que el sentido de estos infinitos mediante la redefinición de diversas cantidades (en este caso, la masa de los electrones que se cambia por la auto-interacción). Sorprendentemente, sin embargo, Bethe el resultado fue bastante acertada.

(Por favor, siéntase libre de corregir algo que tengo mal o errores tipográficos en mi respuesta. Yo más probable es que tengo algo mal.)

Espero que esto ayudó!