Tiene

Question

¿El conjunto de funciones $A = \{1, e^x, e^{2x}, . . . e^{nx}, . . .\}\subseteq C(\mathbb{R})$ span $C(\mathbb{R})$? Aquí le damos el espacio del vector de todos funciones continuas $C(\mathbb{R})$ $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. ¿Cambiarán la respuesta si consideramos un subconjunto del espacio vectorial de todas las funciones diferenciables de $A$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$?

Creo que la respuesta a la primera pregunta es no, y creo que el $f(x)=2^x$ es un contraejemplo. No estoy seguro sobre la segunda pregunta. Cualquier ayuda es apreciada, gracias.

Answer 1

La transformada de Laplace de una función en $\text{Span}(1,e^x,e^{2x},e^{3x},\ldots)$ sólo puede tener simple polos en los enteros no negativos, pero $$ \mathcal{L}\left(2^{-x}\right) = \frac{1}{s+\log 2}$$ y $\log(2)$ es positivo e irracional, por lo tanto $2^{-x}\not\in \text{Span}(1,e^x,e^{2x},e^{3x},\ldots)$. Un argumento similar se aplica a $\sin(x)$: tenemos $\mathcal{L}(\sin x)=\frac{1}{1+s^2}$ con simple pol $\pm i\not\in\mathbb{R}$, a partir de que $\sin(x)\not\in\text{Span}(1,e^x,e^{2x},e^{3x},\ldots)$. En $\text{Span}(1,e^x,e^{2x},e^{3x},\ldots)$ ni siquiera tenemos la función identidad, ya que la transformada de Laplace de $x$ tiene un doble polo en el origen.

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Sin embargo, si se sustituye la $\mathbb{R}$ con un sub-intervalo de $I=[a,b]$ tenemos algo interesante. Si consideramos un continuo (o diferenciable) la función$f(x)$$I$, podemos definir $g(x)=f(\log x)$ sobre el intervalo $J=[e^a,e^b]$. $g(x)$ es continuo en el $J$, por lo tanto, por la aproximación de Weierstrass teorema existe una secuencia de polinomios $p_n(x)$ uniformemente convergente a$g(x)$$J$, y la secuencia de $p_n(e^x)\in\text{Span}(1,e^x,e^{2x},\ldots)$ proporciona una aproximación uniforme de $f(x)$$I$.
Por ejemplo, en el intervalo de $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ hemos $$ x\approx -\frac{11}{6}+3e^x-\frac{3}{2}e^{2x}+\frac{1}{3}e^{3x} $$

Esto demuestra que $\text{Span}(1,e^x,e^{2x},\ldots)$ es denso en $C([a,b])$.

Answer 2

Sugerencia: ¿Qué funciones de acotado están atravesados por esas funciones?

Answer 3

La duración de la funciones $e^{nx}$, $n\in{\mathbb N}_{\geq0}$, consiste en las combinaciones lineales finitas de estas funciones y no una función más que eso. En otras palabras, consiste en la funciones $x\mapsto p\bigl(e^x\bigr)$, $p$ un polinomio arbitrario de una variable.

Answer 4

No, cada una de las funciones del conjunto S es Real-analítica y funciones analíticas Real están cerradas bajo sumas / combinaciones lineales. Considere una función Real-analíticos, por ejemplo, una función de prueba. En el punto donde la serie de Taylor converge al valor de la función para cualquier combinación en el conjunto, la función no analítica no puede aproximar tan de cerca como sea necesario en la norma Sup, que supongo que usted está usando.