Encontrar las raíces de $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15 = 0$

Question

Una vez me encontré con el siguiente problema: encontrar las raíces de $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15 = 0$ . He aquí cómo he procedido:

\begin{align*} (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15 & = [(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)] + 15\\ & = (x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) + 15\\ & = (x^2 + 8x + 7)[(x^2 + 8x + 7) + 8] + 15\\ & = (x^2 + 8x + 7)^2 + 8(x^2 + 8x + 7) + 15 \end{align*} Si hacemos la sustitución $y = x^2 + 8x + 7$ obtenemos \begin{align*} y^2 + 8y + 15 = (y^2 + 3y) + (5y + 15) = y(y+3) + 5(y+3) = (y+5)(y+3) = 0 \end{align*} De donde obtenemos que: \begin{align*} y + 5 = 0\Leftrightarrow x^2 + 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow (x+4)^2 - 4 = 0\Leftrightarrow x\in\{-6,-2\}\\ \end{align*} Análogamente, tenemos que \begin{align*} y + 3 = 0\Leftrightarrow x^2 + 8x + 10 = 0\Leftrightarrow (x+4)^2 - 6 = 0\Leftrightarrow x\in\{-4-\sqrt{6},-4+\sqrt{6}\} \end{align*} Por último, el conjunto de soluciones viene dado por $S = \{-6,-2,-4-\sqrt{6},-4+\sqrt{6}\}$ .

A diferencia de este enfoque, ¿podría alguien proporcionarme una forma alternativa de resolver este problema? Se agradece cualquier aportación. Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: deje que $x+4=y$ entonces la ecuación se escribe como:

$$0 = (y-3)(y-1)(y+1)(y+3)+15=(y^2-1)(y^2-9)+15=y^4-10y^2+24$$

Esta última es una biquadrática con soluciones $y^2 \in \{4, 6\}\,$ .

Answer 2

Una forma de resolver este problema sería utilizar el Teorema de las Raíces Racionales para encontrar las raíces $-2$ y $-6$ y luego utilizar la división polinómica para obtener una cuadrática que se resuelve fácilmente. Sin embargo, este método no funciona en general, ya que no es necesario que un polinomio tenga raíces racionales.

Answer 3

SUGERENCIA.-Buscando soluciones enteras para $f(x)=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15 = 0$ los valores posibles deben ser pares y negativos por lo que los únicos candidatos son $-2,-4$ y $-6$ . Verificamos que $-2$ y $-6$ son raíces. Las otras dos raíces son soluciones de $$\frac{x^4+16x^3+86x^2+176x+120}{x^2+8x+12}=x^2+8x+10$$