En un campo, demuestre que si $ x + x = 0$ entonces $ 1 +1 = 0$

Question

Pregunta:

Supongamos que F es un campo y que $ x$ no puede igualar $ 0$ . Demostrar que si $ x+x=0$ entonces $ 1 +1=0$ .

Mi intento:

Sabemos que $x^{-1}$ existe porque $x$ no puede igualar $0$ .

$ x^{-1}\left(x+x\right)=\ x^{-1}.0$

$ x^{-1}.x + x^{-1}.x =0$ , por distributividad .

$1 +1 = 0$ , por inversa multiplicativa .

No estoy muy seguro de que ésta sea la forma correcta de demostrarlo. Si es incorrecta, ¿podría alguien decirme qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Una solución un poco más general, pero basada en la misma idea, es válida en cualquier dominio integral: si $x$ es distinto de cero, entonces es regular y $x+x =0 \implies x\cdot (1+1)=0$ y así por regularidad, $1+1=0$

Answer 2

El verdadero reto aquí es encontrar una variante significativa de la prueba de Josh Mitkitzel. Pero en la medida en que las preguntas necesitan respuestas, esto es lo que me vino a la cabeza:

$1 + 1 = x^{-1}x + x^{-1}x = x^{-1}(x + x) = x^{-1}\cdot 0 = 0. \tag{1}$

A de buena fe ¡Una línea!

Answer 3

Supongamos que el campo finito es el $GF(q^k)$ y $x\neq0$ es el elemento de este campo, entonces tenemos $$ x+x=0 \quad \Rightarrow \quad x=(q-1)x \quad \Rightarrow \quad 1=q-1 \quad \Rightarrow \quad q=2 \quad \Rightarrow \quad 1+1=0 $$