¿Es necesario y suficiente ser un triángulo rectángulo para que se cumpla el Teorema de Pitágoras?

Question

Hace poco me encontré con una pregunta de Stack Overflow (ya cerrada) en la que el OP estaba probando si un triángulo era recto por si "cumplía" o no los criterios del Teorema de Pitágoras (es decir, si el cuadrado de la hipotenusa es o no igual al cuadrado de los dos lados). El código era el siguiente:

public void Test(int a, int b, int c) {
   if ((c * c) == ((a * a) + (b * b)) {
     System.out.println("This is a right triangle");
   }
   else {
     System.out.println("This is not a right triangle");
   }
}

(Obviamente hay algunos otros problemas con este código, como el hecho de que no valida la entrada para asegurarse de que las entradas son positivas y el hecho de que sólo acepta números enteros).

La pregunta se refería a algo completamente diferente en el código y nunca abordó directamente la prueba, pero me puse a pensar: es ¿es ésta una prueba válida para saber si un triángulo es rectángulo?

Obviamente, el Teorema de Pitágoras establece que, para todos los triángulos rectos, $a^2 + b^2 = c^2$ (donde $a$ y $b$ son lados y $c$ es la hipotenusa). Esto se cumple para todos los triángulos rectos, por lo que ser un triángulo rectángulo es una condición suficiente para que se cumpla el Teorema de Pitágoras.

¿Es también una condición necesaria? Es decir, si $c^2 = a^2 + b^2$ para algún triángulo arbitrario, es el triángulo necesariamente ¿un triángulo rectángulo? ¿O hay contraejemplos?

Answer 1

Supongamos que $a^2 + b^2 = c^2$ es una condición necesaria para ser un triángulo rectángulo.

Corolario: $a^2 + b^2 = c^2$ es una condición suficiente para ser un triángulo rectángulo.

Prueba: Supongamos que nos dan un triángulo particular cuyas longitudes de los lados satisfacen $a^2 + b^2 = c^2$ .

Construir un triángulo rectángulo cuyos dos lados adyacentes al ángulo sean de longitud $a$ y $b$ (por ejemplo, empezar por el ángulo recto y marcar los dos lados para que tengan la longitud adecuada). Por la suposición, se deduce que el tercer lado del triángulo rectángulo tiene la longitud $c$ .

Por el teorema de congruencia lado-lado-lado, el triángulo original es congruente con el triángulo rectángulo, y por tanto el triángulo original es un triángulo rectángulo.

Answer 2

Sí, la inversa del Teorema de Pitágoras también es cierta. Se puede demostrar utilizando la ley de los cosenos:

Supongamos que $a,b,c$ son los lados de un triángulo y satisfacen $a^2 + b^2 = c^2$ . Dejemos que $\angle ACB = \gamma$ . Por la ley de los cosenos,

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma . $$

Desde $a,b > 0$ Debemos tener $\cos\gamma = 0$ . Desde $0 < \gamma < 180^\circ$ Debemos tener $\gamma = 90^\circ$ . Así que $\Delta ABC$ es un triángulo rectángulo.

Answer 3

El teorema de Pitágoras da una caracterización necesaria y suficiente de ser un triángulo rectángulo. En otras palabras, cuando $a$ , $b$ y $c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, $a^2 + b^2 = c^2$ equivale al ángulo opuesto al $c$ -siendo el lado un ángulo recto. Esto se deduce de la ley de los cosenos, que dice

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos C $$

donde $C$ es el ángulo opuesto al $c$ -para cualquier triángulo con longitudes de lado $a$ , $b$ y $c$ . Sólo recibimos $c^2 = a^2 + b^2$ cuando cuando cuando cuando $\cos C = 0$ o cuando $C = 90^{\circ}$ .

También es interesante señalar que este teorema (tanto la parte necesaria como la suficiente) se demuestra en los Elementos de Euclides mediante métodos geométricos.

Answer 4

La ley de los cosenos establece que $$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos(C), $$ donde $C$ es el ángulo opuesto al lado de longitud $c$ . ¿Cuándo $\cos(C)=0$ ?

Answer 5

Dejemos que $ABC$ sea un triángulo no degenerado con longitudes de lado que cumplen $BC^2+AC^2=AB^2$ . Dejemos que $\ell$ sea la línea perpendicular a $BC$ y pasando por $C$ . Dejemos que $A'$ y $A''$ sean los dos puntos distintos en los que el círculo alrededor de $C$ de radio $AC$ se cruza con $\ell$ . Entonces $A'BC$ y $A''BC$ son triángulos rectos. Por Pitágoras, $A'B^2=BC^2+A'C^2=BC^2+AC^2=AB^2$ e igualmente $A''B^2=AB^2$ . Esto significa que el círculo alrededor de $B$ de radio $AB$ y el círculo alrededor de $C$ de radio $AC$ se cruzan en $A$ , $A'$ y $A''$ . Como de hecho sólo hay dos puntos de intersección y como ciertamente $A'\ne A''$ concluimos que $A=A'$ o $A=A''$ . En ambos casos, $ABC$ es un triángulo rectángulo.