Ejemplos inesperados de logaritmo natural

Question

A menudo, los estudiantes de matemáticas se sorprenden por el hecho de que para un matemático, el término "logaritmo" y la expresión $\log$ casi siempre significa logaritmo natural en lugar de logaritmo común. Por ello, he ido recopilando ejemplos de problemas cuyo enunciado no tiene nada que ver con los logaritmos (o la función exponencial), pero cuya solución hace implican logaritmos naturales. El objetivo es, por supuesto, hacer que los alumnos vean lo naturales que son realmente los logaritmos naturales. He aquí algunos de estos problemas:

1. La suma de las series $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$ es $\log2$ .
2. Si $x\in(0,+\infty)$ entonces $\lim_{n\to\infty}n\bigl(\sqrt[n]x-1\bigr)=\log x$ .
3. ¿Cuál es la distancia media de un punto de un cuadrado con el lado de longitud $1$ al centro de la plaza? La pregunta es ambigua. ¿El cuadrado es una línea o una región bidimensional? En el primer caso, la respuesta es $\frac14\bigl(\sqrt2+\log\bigl(1+\sqrt2\bigr)\bigr)$ En el segundo caso, la respuesta es menor (por supuesto): $\frac16\bigl(\sqrt2+\log\bigl(1+\sqrt2\bigr)\bigr)$ .
4. La longitud de un arco de parábola se puede expresar utilizando logaritmos .
5. El área bajo un arco de la hipérbola $y=\frac1x$ (y por encima del $x$ -) puede expresarse mediante logaritmos naturales.
6. Supongamos que hay una urna con $n$ diferentes cupones, de los que se recogen cupones, con la misma probabilidad, con sustitución. ¿Cuántos cupones cree que debe extraer (con reposición) antes de haber extraído cada cupón al menos una vez? El respuesta se trata de $n\log(n)+\gamma n+\frac12$ , donde $\gamma$ es el Constante de Euler-Mascheroni .
7. Para cada $n\in\mathbb N$ , dejemos que $P_p(n)$ sea el número de triples pitagóricos primitivos cuyo perímetro es menor que $n$ . Entonces $\displaystyle P_p(n)\sim\frac{n\log2}{\pi^2}$ . (Por cierto, este es también un uso inesperado de $\pi$ .)

¿Podría sugerirnos algo más?

Answer 1

¿Y el teorema de los números primos? El número de números primos menores que $x$ se denota por $\pi (x)$ y tienes $$\pi (x) \sim \frac{x}{\log x}$$

Answer 2

Aquí están algunos de mis favoritos:

• Al "invertir" la identidad de Euler, $$\ln(\cos x+i\sin x)=ix$$

• El logaritmo natural aparece en algunas integrales de funciones trigonométricas: $$\int \tan (x) dx=\ln(\sec(x))+C$$ $$\int \cot (x) dx=\ln(\sin(x))+C$$ $$\int \sec (x) dx=\ln(\sec(x)+\tan(x))+C$$

• La aparición del logaritmo natural en el Ecuación del cohete de Tsiolkovsky: $$\Delta v=v_e\ln\frac{m_0}{m_f}$$

Answer 3

La solución continua de la ecuación funcional $f(x\cdot y)=f(x)+f(y)$ con la condición $f'(1)=1$ es $f(x)=\ln (x)$ .

Cambiar el valor de $f'(1)$ encontramos las otras funciones logarítmicas.

Answer 4

Aquí hay otro relacionado con algunos de tus ejemplos: el $n$ -número armónico

$$ H_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n} $$

satisface

$$ H_n \approx \ln(n) + \gamma $$

donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni. El error en la aproximación anterior es ligeramente inferior a $\frac{1}{2n}$ .

Answer 5

Utilizando $\sigma(n)$ como la suma de los divisores (positivos) de un número natural $n,$ tenemos $$ \sigma(n) \leq e^\gamma \, n \, \log \log n + \frac{0.64821364942... \; n}{\log \log n},$$ con la constante en el numerador dando la igualdad para $n=12.$ Aquí $\gamma = \lim H_n - \log n.$

Como sugiere Oscar, podemos escribirlo sin aproximaciones como $$ \sigma(n) \leq e^\gamma \, n \, \log \log n + \frac{ n \; ( \log \log 12) \left(\frac{7}{3} -e^\gamma \,\log \log 12 \right)}{\log \log n}.$$

Hay algunos números hasta $n \leq 5040 \;$ (como $n=12$ ) para el que $ \sigma(n) > e^\gamma \, n \, \log \log n .$ La conjetura de que, para $n > 5040,$ tenemos $ \sigma(n) < e^\gamma \, n \, \log \log n ,$ es equivalente a la Hipótesis de Riemann.

Tenga en cuenta que la aparición de $\log \log n$ significa que no podemos sustituir el logaritmo natural por otro sin cambiar el sentido del enunciado. No estaríamos simplemente multiplicando por una constante si utilizamos un logaritmo diferente.