Soluciones racionales de $x^4+y^4=cz^2$

Question

$c\neq 1$ Es un número squarefree y considerar la curva $x^4+y^4=cz^2$. ¿Cómo puedo encontrar puntos racionales en esta curva?

Lo que realmente quiero saber es cómo transformar esto en una curva elíptica. Estoy confundida por la siguiente razón: esta curva tiene tres variables, mientras que las curvas elípticas tienen dos variables.

Answer 1

De

$$x^4+y^4=cz^2\tag1$$

Si haces el siguiente cambio de variables,

$$X = -\frac{4 x^{2} y^{2}}{z^{2}}\tag2$$ $$Y = \frac{4 xy(x^{4} - y^{4})}{z^{3}}\tag3$$

entonces usted puede comprobar que,

$$Y^2 = X^3 - 4c^2X\tag4$$

que es una curva elíptica en forma de Weierstrass y famoso se relaciona con números congruentes.

Answer 2

Estoy confundido también, por las mismas razones que usted dijo . De todos modos, he aquí dos comentarios (no es exactamente una respuesta).

1) La ecuación de diophantine $ax^4+by^4=cz^2; (x, y)=1$ tiene una larga historia y hay un montón de casos de imposibilidad de que se han establecido (Nagell, entre otros), así que tome $c\neq 1$ podría ser demasiado general. Otra cosa es que para calcular el $a^4+b^4$, dicen igual a n, por lo que obtener una solución de (a, b,1), si n es squarefree o una mejor solución si no. (o, $x^4+y^4=nz^2$ o $x^4+y^4=cz^2$ donde c divide a n).

2)(Respecto a su objetivo de encontrar una curva elíptica que funciona) es conocida la cuártica $$F(x,y)=ax^4+4bx^3y+6cx^2y^2+4dxy^3+ey^4$$ has as invariants $g_2=ae-4bd+3c^2$ y $g_3$=det$\begin{pmatrix} a & b& c \\ b&c &d \\c &d &e \\ \end{pmatrix}$, y el cuarto grado $$y^2=x^4+6cx^2+4dx+e$$ (where you have divided $F(x,y)$ by $y^4$ and maked $a=1;b=0)$) is birational equivalent to the cubic $$t^2=4s^3-g_2s-g_3$$ a través de la función $(2x(s+c), y)\to (t-d, 2s-x^2-c)$.

La búsqueda de la aplicación de esta, $x^4+y^4$ ha invariantes $g_2=g_3=0$ e esta curva sería el equivalente a la cúbico $t^2=4s^3$, lo que claramente no es elíptica.

Repito, estoy confundido demasiado y te doy una sugerencia que tal vez inútil aquí, sólo que deseen ayudar a usted en su pregunta.