Dimensión máxima de un espacio del vector nilpotentes

Question

¿Cuál es la dimensión máxima de un espacio del vector de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ que contiene solamente matrices nilpotentes gratis? ($\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$: matrices $n\times n$ con coeficientes en $\mathbb{R}$)

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Realmente no sé cómo solucionar este problema. Debe haber una manera de dar un buen límite superior a la dimensión del espacio vectorial, que parece ser $(n^2-n)/2$, pero no puedo gestionar obtener un buen resultado...

Answer 1

Es de la dimensión del espacio vectorial de matrices simétricas $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ $\frac{n(n+1)}2$, y todas las matrices nilpotentes son no simétricas. Como el conjunto de matrices triangulares superiores estrictamente $T_n^{++}(\mathbb{R})$ es un espacio vectorial de matrices nilpotentes de dimensión, $\frac{n(n-1)}2$ que nos da la dimensión máxima.