¿Dado cualquier conjunto de axiomas consistentes, siempre es posible encontrar un modelo para estos axiomas de ZFC Fije la teoría?

Question

Si no es así, ¿existen condiciones bajo las cuales debe ser un modelo según la teoría ZFC? ¿Por otra parte, es cualquier conjunto de axiomas que esto ser verdad?

¿Si es así, podemos dejar caer algunos de los axiomas y todavía tiene este poder? ¿Hay otras propuestas fundaciones de las matemáticas con esta capacidad?

¿Si la respuesta a esta pregunta es desconocida, está ampliamente aceptado (o rechazado) por la comunidad matemática? Si bien, ¿por qué?

Answer 1

Goedel Integridad del Teorema (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Gödel's_completeness_theorem) establece que cualquier coherente de la teoría tiene un modelo. Esto es demostrable en ZFC (de hecho, en mucho menos de ZFC), así que sin duda tenemos:

Si ZFC prueba "$T$ es consistente," entonces ZFC prueba "$T$ tiene un modelo."

Sin embargo, tenga en cuenta la "ZFC prueba" parte. Si $T$ es una constante en la teoría, pero ZFC no puede probar que, entonces ZFC no puede probar que $T$ tiene un modelo. Por ejemplo, se suele asumir que ZFC es consistente, pero por Goedel del Teorema de la Incompletitud ZFC no puede probar que ZFC es consistente.

Desde ZFC demuestra Integridad, aunque, este es el único obstáculo.

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Usted puede estar interesado en la pregunta, "¿Qué tipo de axioma sistemas de demostrar Integridad?" Esto ha sido estudiado en un par de maneras diferentes; por ejemplo, si estamos interesados en teorías contables idioma, el muy muy débil de la teoría de $WKL_0$ es ya lo suficientemente fuerte como para demostrar el teorema de Completitud. Realmente sólo necesitamos la teoría de conjuntos para manejar los casos en los que el lenguaje es "grande", e incluso entonces no necesitamos mucho.