Cómo saber si un conjunto de vectores se extiende por un espacio?

Question

Quiero saber si el set $\{(1, 1, 1), (3, 2, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)\}$ abarca $\mathbb{R}^3$. Sé que si se extiende $\mathbb{R}^3$, entonces para cualquier $x, y, z, \in \mathbb{R}$, $c_1, c_2, c_3, c_4$ tal que $(x, y, z) = c_1(1, 1, 1) + c_2(3, 2, 1) + c_3(1, 1, 0) + c_4(1, 0, 0)$.

He buscado por internet, pero todas las respuestas que he encontrado implican la configuración de una matriz y encontrar el determinante, y yo no puedo hacer eso aquí, porque mi matriz no es cuadrada. Lo que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Hay varias cosas que usted puede hacer. He aquí cuatro:

1. Puede configurar una matriz y el uso de eliminación Gaussiana para averiguar la dimensión del espacio que abarcan. Abarcan $\mathbb{R}^3$ si y sólo si el rango de la matriz es $3$. Por ejemplo, usted tiene $$\begin{align*} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 3 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) &\rightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 3 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) &&\rightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\\ &\rightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) &&\rightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right). \end{align*}$$ (Secuencia de operaciones: intercambia las filas 1 y 4; se resta de la primera fila de otras filas para hacer $0$s en la primera columna; intercambiaron segunda y tercera filas, se agregó múltiplos de la segunda fila a la tercera y cuarta fila $0$s en la segunda columna).

   En este punto, es claro que el rango de la matriz es $3$, por lo que los vectores abarcan un subespacio de dimensión $3$, de ahí que abarcan $\mathbb{R}^3$.

2. A ver si uno de los vectores es combinación lineal de los otros. Si es así, usted puede caer de la serie y aún así obtener el mismo lapso; entonces tendrás tres vectores y puede utilizar los métodos que se encuentran en la web. Por ejemplo, usted podría darse cuenta de que $(3,2,1) = (1,1,1)+(1,1,0)+(1,0,0)$; lo que significa que $$\mathrm{span}\Bigl\{(1,1,1),\ (3,2,1),\ (1,1,0),\ (1,0,0)\Bigr\} = \mathrm{span}\Bigl\{(1,1,1),\ (1,1,0),\ (1,0,0)\Bigr\}.$$

3. Determinar si los vectores $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, y $(0,0,1)$ encuentran en el intervalo (o cualquier otro conjunto de tres vectores que usted ya sabe span). En este caso es fácil: $(1,0,0)$ es en su conjunto; $(0,1,0) = (1,1,0)-(1,0,0)$, lo $(0,1,0)$ está en el intervalo; y $(0,0,1) = (1,1,1)-(1,1,0)$, lo $(0,0,1)$ es también en el tramo. Puesto que el intervalo contiene el estándar de base para $\mathbb{R}^3$, contiene todos los de $\mathbb{R}^3$ (y por lo tanto es igual a $\mathbb{R}^3$).

4. Resolver el sistema de ecuaciones $$\alpha\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) + \beta\left(\begin{array}{c}3\\2\\1\end{array}\right) + \gamma\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right) + \delta\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)$$ para arbitrario $a$, $b$, y $c$. Si siempre hay una solución, entonces los vectores span $\mathbb{R}^3$; si no hay una selección de $a,b,c$ por lo que el sistema es inconsistente, entonces los vectores no abarcan $\mathbb{R}^3$. Usted puede utilizar el mismo conjunto de operaciones elementales con sus filas que he usado en la 1, con la matriz ampliada dejando la última columna se indica como expresiones de $a$, $b$, y $c$.

Answer 2

El uso de eliminación Gaussiana y comprobar si hay 3 distinto de cero filas en el extremo.

Answer 3

Si usted echa un bote $(3,2,1)$, se queda con 3 comprobar fácilmente vectores. De hecho, si $a(1,1,1)+b(1,1,0)+c(1,0,0)=(0,0,0) $, entonces debemos tener $a=0$ porque sólo el primer vector tiene un pasado de coordenadas. El mismo argumento que de nuevo da $b=0$.

Tres vectores linealmente independientes en un espacio 3-dimensional se extiende por el espacio.