¿Es este módulo finitamente generado?

Question

Supongamos que es de $M$ $A$-módulo, $A$ es un anillo comutativo con 1, tal que para cada contable generado submódulo $N$ $M$, existe un submódulo finito generado $L$ que contiene $N$.

¿Debe $M$ finito ser generado?

(Tal vez se debe ser etiquetado por teoría de conjuntos?)

Gracias.

Answer 1

Vamos

• $X$ ser una multitud innumerable,
• $F$ ser un campo,
• $A$ ser el anillo de funciones $X \to F$, que es constante, excepto posiblemente en una contables subconjunto de $X$,
• $M$ ser la izquierda $A$-módulo de funciones $X \to F$ que son iguales a cero, excepto posiblemente en una contables subconjunto de $X$.

A continuación, cada countably generado submódulo de $M$ es de hecho contenida en un submódulo generado por un elemento (dada una secuencia $m_1, m_2, ... \in M$, el submódulo que genera los contenidos en el submódulo generado por una $m$ que es distinto de cero cada vez que alguna de las $m_i$ es distinto de cero), pero $M$ sí es uncountably generado. Ambas propiedades se sigue del hecho de que una contables de la unión de contables de subconjuntos de a $X$ es contable.