Integración con respecto a la medida Dirac

Question

La medida de Dirac se define por $$ \delta_x (A)= \begin {cases} 1 & \text {if $ x \in A $} \\ 0 & \text {if $ x \notin A $} \\ \end {cases}$$ Deje que $f:X \rightarrow \mathbb {R}$ ser una función. ¿Puede alguien mostrarme por qué $ \int f \, d \delta_x =f(x)$ ? Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Sugerencia Si $g=\sum_i c_i 1_{A_i}$ es una función escalonada, entonces

$$\int g d \delta_x = \sum_i c_i \delta_x(A_i)=\sum_i c_i 1_{A_i}(x)=g(x) $$

Answer 2

Dejemos que $g$ denotan la función constante que es igual a $f(x)$ . Entonces $f=g$ casi seguro con respecto a $\delta_x$ es decir, la función $f$ es casi seguramente igual a la función constante que toma el valor $f(x)$ . Esto es fácil de ver ya que $$ \delta_x(\{g=f\})=\delta_x(\{y\in X\mid g(y)=f(y)\})=1 $$ desde $x\in \{g=f\}$ está en ese conjunto. Ahora bien, utiliza que dos funciones que son idénticas casi seguro que tienen la misma integral. Es decir $$ f=g\quad\delta_x\text{-a.s}\;\Longrightarrow\;\int f\,\mathrm d\delta_x=\int g\,\mathrm d\delta_x=f(x)\int 1\,\mathrm d\delta_x=f(x)\cdot\delta_x(X)=f(x). $$

Answer 3

Si esto se hace para el caso en que $f$ es en todas partes no negativo, probablemente puedas averiguar cómo hacer el resto.

Partición de todo el espacio $X$ en dos conjuntos: $\{x\}$ y el complemento de $\{x\}$ . Mira la función simple $$ g(w)=\begin{cases} f(x) & \text{if }w=x, \\ 0 & \text{if }w\ne x. \end{cases} $$ Entonces $g\le f$ en todas partes y $\int_X g \, d\delta_x=f(x)$ . Por lo tanto, $\int_X f\,d\delta_x\le f(x)$ .

Si $h$ es cualquier otra función simple $\le f$ entonces uno de los conjuntos medibles en los que $h$ es constante contiene $x$ y así sucesivamente, que establecen el valor de $h$ no puede superar $f(x)$ . La medida de ese conjunto es $1$ y la medida de cada uno de los otros conjuntos medibles en los que $h$ es constante es $0$ . Por lo tanto, $\int_X h\,d\delta_x\le f(x)$ .