Paquete de la fibra con la inclusión de fibra null homotópicas

Question

Es un ejercicio de Hatcher (ejercicio 31, página 392):

Para un haz de fibras $F \to E \xrightarrow{p} B$ de manera tal que la inclusión $F \hookrightarrow E$ es homotópica a una constante mapa, mostrar que el largo de la secuencia exacta de homotopy grupos se rompe para arriba en split corto exacta de las secuencias de dar isomorphisms $\pi_n(B) \approx \pi_n(E) \oplus \pi_{n-1}(F)$.

Rompiendo la larga secuencia en la que es fácil, es una aplicación directa de la hipótesis: desde $i:F \to E$ es nulo homotópica, $i_*$ es el null homomorphism y tenemos el siguiente corto exacta de secuencias: $$0 \to \pi_n(E) \to \pi_n(B) \to \pi_{n-1}(F) \to 0 $$

Pero yo no podía dividir este corto exacta de las secuencias. Sé que es suficient para la construcción de un homomorphism $\gamma: \pi_n(B) \to \pi_n(E)$ tal que $\gamma \circ p_*=Id_{\pi_n(E)}$. Y esta condición me dice cómo $\gamma$ debe estar en el rango de $p_*$, pero no sé cómo definirlo fuera de $p_*(\pi_n(E))$.

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Edit: Leyendo mal humor Chirivía la respuesta, otras dos preguntas:

1. Esta es, probablemente, un tonto. En la definición de $\partial$ sobre Grumpy respuesta, levantó un mapa de $f:D^n \to B$$\bar{f}:D^n \to E$, pero no estoy seguro de cómo esto se puede hacer. Que yo sepa el haz de fibras se $p: E \to B$ tiene el homotopy elevación de la propiedad con respecto a los discos de $D^n$: dado un homotopy $g_t:D^n \to B$ y una elevación $\tilde{g}_0: D^n \to E$$g_0$, hay un homotopy $\tilde{g}_t: D^n \to E$ elevación $g_t$. Esto es exactamente lo que necesitamos para demostrar que todos estos mapas están bien definidas, ya que todos ellos utilizan algún tipo de levantamiento. Pero no veo cómo utilizar esta propiedad para definir.

2. Si elevadores existir siempre, no $\gamma: \pi_n(B) \to \pi_n(E)$ definido por $\gamma([f])=[\tilde{f}]$ (donde $\tilde{f}$ es un levantamiento de $f$) de una división por el lado izquierdo de la secuencia exacta?

Answer 1

Aquí es cómo construir un mapa de $\pi_{n-1}(F)\to \pi_n(B)$. Dada una esfera $f\colon S^{n-1}\to F$, por la hipótesis de que los límites de un disco de $g\colon D^{n}\to E$. Considere la posibilidad de la proyección de $\pi\circ g\colon D^n\to B$ donde $\pi\colon E\to B$ es el mapa de proyección del haz de fibras. Tenga en cuenta que $\pi\circ g(\partial D^n)=\pi(*)$ es un solo punto, por lo que representa un mapa de $S^{n+1}$ a $B$. I. e. se da un elemento de $\pi_{n+1}(B)$ como se desee. Ahora usted tiene que mostrar este mapa da una bien definida homomorphism y es un parto.

Edit: Respondiendo al OP comentarios, la mano derecha de la división es el que usted necesita. Dudo que haya un natural de la mano izquierda de dividir. La manera de conseguir la frontera del operador en la larga secuencia exacta es tomar un mapa de $f\colon S^n\to B$ que representa el elemento de $\pi_n(B)$. Usted puede pensar en él como un mapa de $(D^n,\partial D^n)\to B$ donde $\partial D^n$ se asigna a un punto. Ahora por la homotopy elevación de la propiedad de los haces de fibras, puede levantar las $f$ a un mapa de $\tilde{f}\colon D^n\to E$, pero ahora $\tilde{f}(\partial D^n)$ no va a ser un punto, sino que se encuentran en $\pi^{-1}(*)=F$. Por lo $\tilde{f}$ darle un elemento de $\pi_{n-1}(F)$ como se desee.