Cuál es la longitud media de 2 puntos en una circunferencia, con generalizaciones

Question

He visto antes la pregunta sobre encontrar la longitud media de dos puntos y $n$ puntos dentro del disco unitario. Pero ¿qué pasa con la pregunta más simple, qué pasa si los puntos se encuentran exactamente en el círculo?

Hice un poco de álgebra básica, asumir que el radio del círculo es $r$ . sin pérdida de generalización podemos fijar el punto $x_1(-a,0)$ y luego variar $x_2$ sobre todas las posibilidades $$ P_2(2) = \frac{2 \int_{-a}^{a} \sqrt{2r(r+x)\,}\,}{2 \pi r^2} = \frac{16}{3\pi} $$ También he probado los resultados a través de matlab, generando $10^9$ puntos, y midiendo la distancia media. Mis resultados para un círculo unitario fueron $$ D \approx 1.1864 $$ Lo que lamentablemente no dio ningún resultado ni en Wolfram, ni en OEIS, ni en un generador simbólico inverso. Esto contradice mi aritmética, lo que significa que debería estar equivocado. El fragmento de código se puede encontrar a continuación, nada terriblemente emocionante.

a = 1;
N = 10^8;

x1= a.*(2*rand(N,1)-1);
y1 = a.*(2*rand(N,1)-1);

x2= -a;
y2 = 0;

P = mean(sqrt((y2-y1).^2 + (x2-x1).^2));

¿Cuál es la respuesta correcta a $P_2(2)$ (distancia media de dos puntos en un círculo)? ¿Se puede hacer alguna generalización para $P_n(2)$ (distancia media de dos puntos en el $n$ -¿esfera dimensional? ¿Y qué pasa con $P_n(m)$ o $P_2(m)$ ? Dónde $n$ es la dimensión de la esfera, y $m$ es el número de puntos.

Answer 1

No sé cómo has llegado a tu fórmula de " $P_2(2)$ ", sea cual sea el significado de esto.

En cualquier caso, puede asumir su círculo de radio $1$ el primer punto $z_1$ como $(1,0)$ y el segundo punto $z_2$ como $(\cos\phi,\sin\phi)$ con $\phi$ equidistribuido en $[0,\pi]$ . Entonces $|z_2-z_1|=2\sin{\phi\over2}$ y por lo tanto $${\mathbb E}\bigl[|z_1-z_2|\bigr]={1\over\pi}\int_0^\pi 2\sin{\phi\over2}\ d\phi={4\over\pi}\doteq1.273\ .$$

Answer 2

Su código Matlab genera puntos en una plaza no en un círculo . Deberías cambiarlo por algo así:

a = 1;
N = 10^8;

theta = 2*pi*rand(N,1);
x1 = a.*cos(theta);
y1 = a.*sin(theta);

x2 = -a;
y2 = 0;

P = mean(sqrt((y2-y1).^2 + (x2-x1).^2));

Esto da aproximadamente 1,274, lo que no concuerda con 16/3/pi.