En nuestras notas de clase, las funciones continuas siempre se definen en intervalos cerrados, y las funciones diferenciables, siempre en intervalos abiertos. Por ejemplo, si queremos demostrar una propiedad de una función continua, sería "Sea $f$ una función continua en $[a,b] \subset \mathbb R$" ... y para una función diferenciable sería $(a,b)$ en su lugar.
¿Por qué es eso?
Los intervalos cerrados (y acotados) en $\mathbb{R}$ son compactos. Esto implica que las funciones continuas definidas en tales intervalos tienen varias propiedades agradables, como las siguientes:
En general, otros intervalos no brindan las mismas propiedades a las funciones continuas definidas en ellos.
En cuanto a funciones diferenciables en intervalos abiertos: Si todo lo que se necesita es diferenciabilidad en el interior del intervalo, mucho mejor. De manera intuitiva, para que una función de valores reales en $\mathbb{R}$ sea diferenciable, significa que en cada punto el gráfico de la función se ve localmente como una línea. En un intervalo abierto, cada punto es un punto interior, por lo que esta intuición se mantiene bien. Si una función es diferenciable en el punto límite de un intervalo cerrado, el gráfico se verá localmente como un rayo.
Como otras preguntas en este sitio (por ejemplo, Funciones con derivada discontinua en los extremos de un intervalo abierto) muestran, este tema puede volverse un poco complicado.
Supongo que es porque las notas han definido la continuidad "unilateral" (por ejemplo, $\lim \limits_{x \to c^+} f(x) = f(c)$) por lo que tiene sentido que una función sea continua en un punto final, pero no has definido las derivadas análogas desde la izquierda y la derecha, por lo que aún no tiene sentido que una función sea derivable en un punto final (al menos así es como lo he visto en algunos cursos).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
