En un curso reciente de matemáticas he tratado las funciones trigonométricas hiperbólicas. Sin embargo, nunca se me presentaron razones para por qué (o incluso si) son útiles.
¿Existen buenos ejemplos de sus usos fuera del ámbito académico?
Se ha mencionado varias veces la catenaria, pero aparentemente no la correspondiente superficie de revolución, la catenoide . Ella y el plano son las únicas superficies de revolución que tienen curvatura media cero (es decir, son superficies mínimas ). Esta superficie es la forma que adopta una pompa de jabón (aproximadamente) cuando se estira a través de dos anillos:
(imagen de ici )
La suma de velocidades en la relatividad (especial) no es lineal, pero se convierte en lineal cuando se expresa en términos de funciones tangentes hiperbólicas.
Más concretamente, si se suman dos movimientos en la misma dirección, como un hombre que camina a velocidad $v_1$ en un tren que se mueve a $v_2$ con respecto al suelo, la velocidad $v$ del hombre con respecto al suelo no es $v_1 + v_2$ ; las velocidades no se suman (de lo contrario, sumando las suficientes se podría superar la velocidad de la luz). Lo que sí se suma es la tangente hiperbólica inversa de las velocidades (en unidades de velocidad de la luz, es decir $v/c$ ).
$$\tanh^{-1}(v/c)=\tanh^{-1}(v_1/c) + \tanh^{-1}(v_2/c)$$
Esta es una forma de derivar la relatividad especial: suponer que se cumple una fórmula de adición de velocidades, respetando una velocidad máxima de la luz y algunos otros supuestos, y demostrar que tiene que ser la anterior.
No sé si consideras la Relatividad General "fuera de la acadamia"(¡y no me interesa discutir el punto!) pero si lo haces,
el grupo de simetrías con respecto a la métrica lorentziana puede escribirse como matrices que contienen funciones trigonométricas hiperbólicas como elementos.
Fíjate en el comentario de Kenny.
(1) Eso se llama Métrica de Minkowski . ¿O quiere decir Transformación de Lorentz ? (2) Es sólo relatividad especial porque no hay espaciotiempo curvo.
Lo contaré. Aquí hay un poco más. La relatividad se interesa por el intervalo espacio-tiempo. Si el tiempo es la base de un triángulo y la distancia la hipotenusa el intervalo es la otra base. Así que espacio-tiempo = d^2 - t^2. Así que en el plano d y t tenemos esta extraña métrica de la distancia. Ahora viene el movimiento de manos. Tomemos el producto geométrico de d y t = d * t + d ^ t = 0 + d ^ t. Al cuadrado es igual a 1. Normalmente es igual a -1. Así que cuando expandimos e^(dt)x = 1 + dtx + x^2 + dtx^3 ... Ya no hay signos alternos. e^(dt)x = cosh(x) + dt*sinh(x). Explicado aquí geocalc.clas.asu.edu/pdf/CompGeom-ch2.pdf
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
5 votos
Las transformaciones de Lorentz pueden entenderse como rotaciones hiperbólicas. La curva caternaria (una cuerda/cadena colgante) es realmente sólo cosh