¿Puedo cancelar la función de cociente con seguridad?

Question

¿Puedes anular realmente el numerador y el denominador?

$$f(x) = \frac{x^3-8}{x-2}$$

Esta función no está definida en $x=2$ por lo que su dominio es "todos los números reales excepto el 2". $f(x)$ puede reordenarse en

$$\frac{(x^2+2x+4)(x-2)}{x-2}$$

Cuando anulo el $x-2$ Me sale $x^2+2x+4$ que se define en todos los números reales. Sea $g(x) = x^2+2x+4$ . Son $f(x)$ y $g(x)$ ¿diferentes funciones?

¿Estoy en lo cierto al decir $f(x)$ no es continua en $2$ porque no puedo encontrar $f(2)$ ?

Tengo curiosidad por esto porque vi a este tipo en http://www.youtube.com/watch?v=7tKq2NL0GJ4 Puedes desplazarte hasta el minuto 4:00 donde intenta encontrar la continuidad de f(x) en x=2. Creo que su método es incorrecto porque f(2) es indefinido y debe responder que f(x) no es continua x=2 inmediatamente. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Buena pregunta. Las funciones $\frac{x^3-8}{x-2}$ y $x^2+2x+4$ son iguales para todos $x$ excepto en $x=2$ , donde la primera función es indefinida, y la segunda es $12$ .

Sin embargo, si se toma el límite de la primera función como $x \to 2$ lo único que te importa son los valores de la función en $x$ cerca de $2$ el valor de $x$ en $2$ es irrelevante a la hora de tomar el límite (incluso si es indefinido allí como este caso). Así que la cancelación está bien en este caso.

Answer 2

Tienes razón, $f$ y $g$ son funciones diferentes ya que no tienen el mismo dominio.

Y, sí, $f$ no es continua en $2$ porque no está definido en $2$ .

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Si hablamos de límites entonces se puede utilizar el hecho de que si $f(x) = g(x)$ excepto en $x=a$ entonces $$ \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x). $$ Así que ahora se nota que para cualquier $x\neq 2$ , de hecho, usted tiene $$ \frac{x^3 - 8}{x-2} = x^2 + 2x + 4. $$ Y así $$ \lim_{x\to 2} \frac{x^3 - 8}{x-2} = \lim_{x\to 2} x^2 + 2x + 4 = \dots $$