$SO(N)$ Transformación de la función de dos puntos

Question

Considere la densidad Lagrangiana:

$$\mathcal{L} = \mathcal{L}_0 - \frac{\lambda}{4!}\left(\vec{\phi}^2\right)^2$$

Donde $\mathcal{L}_0$ contiene el estándar de masa y cinética términos de $N$ campos escalares. Este Lagrangiano es invariante bajo $\mathrm{SO(N)}$ rotaciones.

Estoy tratando de demostrar la siguiente identidad para el punto dos de la función de correlación: $$S_{ad}\langle T\phi_d(x)\phi_c(y)\rangle S_{bc} = \langle T\phi_a(x)\phi_b(y)\rangle$$ Donde $S$ es un elemento de grupo de $\mathrm{SO(N)}$. Mi progreso hasta ahora:

Escribí $S$ en su infinitesimal forma: $S_{ad} = \delta_{ad} + \epsilon~ T_{ad}$, $\epsilon$ ser un infinitesimal parámetro y $T_{ad}$ anti simétrica la matriz.

Hacer esto durante dos elementos en la expresión de los rendimientos de los cuatro términos: 1 se desvanece como el que tiene un segundo orden infinitesimal y otra es el resultado deseado, lo que significa que la prueba se reduce a mostrar que los dos restantes se desvanecen:

$$T_{bc}\langle T\phi_a(x)\phi_c(y)\rangle + T_{ad}\langle T\phi_d(x)\phi_b(y)\rangle = 0$$

A partir de aquí yo estoy seguro de cómo proceder. Si escribo la expresión de la correlación de las funciones explícitamente puedo poner todos los términos en la misma integral, y requieren que el integrando sea 0 rendimientos de la condición:

$$T_{bc}\phi_a(x)\phi_c(y) + T_{ad}\phi_d(x)\phi_b(y) = 0$$

Pero todavía no sé cómo mostrar este. Además, no sé si este es el camino correcto, como tal vez es posible mostrar que la integral es 0 sin el integrando ser 0?

Agradecería cualquier ayuda!

EDIT: Olvidé mencionar esto, pero la integración de la medida en la ruta integral que supone ser invariante.

Answer 1

Creo que la manera más elegante de mostrar el por encima de identidad es el uso de la ruta integral de la fórmula para el correlators, de la siguiente manera (voy a omitir el tiempo de ordenar como es automática en este formalismo).

Deje $S\in SO(N)$, entonces los campos de transformación de la $\vec{\phi'}(x)=S\vec{\phi}(x)$, o en los componentes de la $\phi_a'(x)=S_{ab}\phi_b(x)$. Ahora vamos a ampliar el lado izquierdo:

$\displaystyle S_{ad}\langle\phi_d(x)\phi_c(y)\rangle S_{bc}=S_{ad}\frac{\int \mathcal{D}\vec{\phi}\;\phi_d(x)\phi_c(y)\;\exp{iS[\vec{\phi}]}}{\int \mathcal{D}\vec{\phi}\;\exp{iS[\vec{\phi}]}}S_{bc}$

Podemos poner el $S$ factores dentro de la integral como son $\phi$ independiente, y el uso de la transformación de $\phi_a'(x)=S_{ab}\phi_b(x)$ para obtener:

$\displaystyle \frac{\int \mathcal{D}\vec{\phi}\;\phi_a'(x)\phi_b'(y)\;\exp{iS[\vec{\phi}]}}{\int \mathcal{D}\vec{\phi}\;\exp{iS[\vec{\phi}]}}$

La integración de la medida se transforma a medida $\mathcal{D}\vec{\phi}=f(S)\mathcal{D}\vec{\phi'}$ donde $f(S)$ sólo depende de $S$, y la acción es mediante la construcción de invariantes: $S[\vec{\phi}]=S[\vec{\phi'}]$. La función de $f$ es tanto en el numerador y el denominador por lo que se cancela, y nos quedamos con:

EDIT: La integración de la medida se transforma a medida $\mathcal{D}\vec{\phi}=|J(\phi',\phi)|\mathcal{D}\vec{\phi'}=|\det S^{-1}|\vec{\phi'}$ como regular la integración, pero como $S\in SO(N)$ el factor determinante es 1, y la acción es mediante la construcción de invariantes: $S[\vec{\phi}]=S[\vec{\phi'}]$. Así que nos queda:

$\displaystyle \frac{\int \mathcal{D}\vec{\phi'}\;\phi_a'(x)\phi_b'(y)\;\exp{iS[\vec{\phi'}]}}{\int \mathcal{D}\vec{\phi'}\;\exp{iS[\vec{\phi'}]}}$

Sin embargo, los números primos son redundantes, ya que estamos justo de integración de las variables, de ahí que podamos re-etiquetar $\phi'\rightarrow\phi$ y, a continuación, tenemos:

$\displaystyle \frac{\int \mathcal{D}\vec{\phi}\;\phi_a(x)\phi_b(y)\;\exp{iS[\vec{\phi}]}}{\int \mathcal{D}\vec{\phi}\;\exp{iS[\vec{\phi}]}}$

pero este es, por definición, sólo $\displaystyle \langle\phi_a(x)\phi_b(y)\rangle$, completando así la prueba.