Método 1: Residuos
Considere la integral de contorno
$$\oint_C dz \frac{e^{i k z}}{(1+z^2)^2}$$
donde $C$ es un semicírculo en la mitad superior del plano; aquí, $k>0$. Entonces por el teorema de los residuos y de Jordania lema:
$$\begin{align}\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i k x}}{(1+x^2)^2} &= i 2 \pi \operatorname*{Res}_{z=i} \frac{e^{i k z}}{(1+z^2)^2}\\ &= i 2 \pi \left [\frac{d}{dz} \frac{e^{i k z}}{(z+i)^2} \right ]_{z=i}\\ &= i 2 \pi \left [\frac{i k\, e^{i k z}}{(z+i)^2} - \frac{2 e^{i k z}}{(z+i)^3} \right ]_{z=i}\\ &= \frac{\pi}{2} (k+1) e^{-k}\end{align}$$
Para $k \lt 0$, $C$ es un semicírculo en la mitad inferior del plano; por las mismas razones anteriores, tenemos:
$$\begin{align}\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i k x}}{(1+x^2)^2} &= -i 2 \pi \operatorname*{Res}_{z=-i} \frac{e^{i k z}}{(1+z^2)^2}\\ &= -i 2 \pi \left [\frac{d}{dz} \frac{e^{i k z}}{(z-i)^2} \right ]_{z=-i}\\ &= -i 2 \pi \left [\frac{i k\, e^{i k z}}{(z-i)^2} - \frac{2 e^{i k z}}{(z-i)^3} \right ]_{z=-i}\\ &= \frac{\pi}{2} (-k+1) e^{k}\end{align}$$
Por lo tanto,
$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i k x}}{(1+x^2)^2} = \frac{\pi}{2} (1+|k|) e^{-|k|}$$
Método 2: Convolución
Sabiendo que los PIES de $1/(1+x^2)$$\pi \, e^{-|k|}$, podemos usar el teorema de convolución para deducir que
$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i k x}}{(1+x^2)^2} = \frac{\pi^2}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dk' e^{-|k'|} \, e^{-|k-k'|}$$
De nuevo, el modo en que evaluamos la integral en el lado derecho depende del signo de $k$. Para $k \gt 0$, esta integral es
$$\frac{\pi}{2} \int_{-\infty}^0 dk' \, e^{k'} \, e^{-(k-k')} + \frac{\pi}{2} \int_{0}^k dk' \, e^{-k'} \, e^{-(k-k')}+ \frac{\pi}{2} \int_{k}^{\infty} dk' \, e^{-k'} \, e^{k-k'}$$
Para $k \lt 0$, por otro lado, la integral es
$$\frac{\pi}{2} \int_{-\infty}^k dk' \, e^{k'} \, e^{-(k-k')} + \frac{\pi}{2} \int_{k}^0 dk' \, e^{k'} \, e^{k-k'}+ \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\infty} dk' \, e^{-k'} \, e^{k-k'}$$
Evaluación de la por encima de las integrales reproduce el resultado derivado de la anterior.
