¿Qué frases sobreviven al pasaje de $X$ al conjunto de todas las funciones $I \rightarrow X$ ?

Question

Supongamos que $X$ es una estructura matemática con un único conjunto subyacente que también denotaremos $X$ , dotado de algunas funciones y relaciones. Dejando que $I$ denota un conjunto arbitrario no vacío, vemos que el conjunto de todas las funciones $I \rightarrow X$ puede convertirse en una estructura matemática $Y$ de una manera obvia. Por ejemplo, si $X$ equipado con una operación binaria $+$ , entonces para todos los $f,g \in Y$ definimos $(f+g)(i)=f(i)+g(i).$ Del mismo modo, si $X$ está dotado de un símbolo de relación binaria $\leq$ , entonces para todos los $f,g \in Y$ definimos $$f \leq g \leftrightarrow \forall i \in I(f(i) \leq g(i)).$$

Ahora, en el pasaje de $X$ a $Y$ se conservan algunas sentencias. Por ejemplo, si $+$ es conmutativo en $X$ , pues esta es la frase $$\forall x,y \in X(x+y=y+x).$$ Es fácil ver que esto se conserva, en el sentido de que $$\forall x,y \in X(x+y=y+x) \rightarrow \forall f,g \in Y(f+g=g+f).$$

En general, parece obvio que las igualdades cuantificadas universalmente sobreviven al paso; pero, eso no es todo.

¿Existe una buena caracterización de esas sentencias que, si se satisfacen por $X$ también se satisfacen con $Y$ ?

---

Debate . Las tres sentencias para un orden parcial se conservan, a saber

1. $\forall x(x \leq x)$
2. $\forall x,y,z(x \leq y \wedge y \leq z \rightarrow x \leq z)$
3. $\forall x,y(x \leq y \wedge y \leq x \rightarrow x = y)$

Sin embargo, la linealidad no lo es; y, ésta es de la forma

• $\forall x(x \leq y \vee y \leq x).$

Por lo tanto, esto sugiere que $\vee$ es quizás "sospechoso". Sin embargo, a veces está bien: por ejemplo, si tenemos tres símbolos constantes $0,1$ y $2$ y sabemos que $X$ satisface $(0 = 1) \vee (1 = 2),$ entonces también lo hace $Y$ .

Answer 1

Permítanme empezar con algunas definiciones:

Un literal positivo es una fórmula atómica y un literal negativo es la negación de una fórmula atómica.

Una cláusula es una disyunción de literales.

Una cláusula de cuerno es una cláusula en la que no hay más de un literal positivo.

Una frase es universal de Horn si es el cierre universal de una cláusula de Horn.

No es difícil ver que las sentencias universales de Horn que se mantienen en $X$ también se satisfacen en el $Y$ . Por ejemplo, los axiomas para anillos u órdenes parciales se pueden escribir como sentencias universales de Horn, pero al ser un orden lineal o un campo no se puede hacer ya que esto no se preserva bajo productos como has notado.