¿Existe un sistema de referencia distinguido, después de todo?

Question

El principio de equivalencia, que es el principal postulado en el que se basa la teoría general de la relatividad, afirma básicamente que todos los sistemas de referencia son equivalentes, porque las pseudofuerzas pueden interpretarse (localmente) como campos gravitatorios y, por lo tanto, es imposible que el experimentador local decida si se está moviendo, o siendo acelerado, o inmóvil. En otras palabras: no existe un sistema de referencia distinguido e "inmóvil".

Pregunta: ¿el cubo de agua que gira (superficie de agua parabólica) no nos da una indicación de nuestro estado de rotación? ¿Sería un extraño campo gravitatorio el que hace que mi agua sea arrastrada hacia el exterior mientras hace que el resto del universo gire a mi alrededor?

¿Y el desplazamiento rojo/azul del fondo de microondas (a menudo apodado "eco del big bang") no nos da una pista de nuestro movimiento de traslación dentro del universo (he leído últimamente que compensan las mediciones de precisión de la radiación de fondo por el movimiento del sistema solar alrededor del centro galáctico, asumiendo obviamente que el centro galáctico está "inmóvil" dentro del universo)?

Answer 1

Me gustaría responder en cuanto a los cubos, pero dejar el CMBR para un cosmólogo o un relativista de verdad. Limpiando el suelo después del caos que han dejado mis hijos, me considero un experto en lo primero.

En la RG es irrelevante que se describa una "fuerza" como una "fuerza inercial" o como un campo gravitatorio. Todo lo que uno "sabe" es si está acelerado con respecto a un marco inercial: más detalladamente: supongamos que uno lleva consigo un "marco de referencia" (imaginemos un conjunto de varillas de medición rectas que representan el $x, y, z$ ejes. Entonces este sistema de barras es un "marco inercial" si todo de sus puntos se mueven a lo largo de las geodésicas del espaciotiempo definidas por las ecuaciones de campo de Einstein. Esto puede expresarse de forma más técnica: el origen del sistema de coordenadas sigue una geodésica del espaciotiempo en el colector y los vectores tangentes del colector del espaciotiempo representados por cada varilla son Lie arrastrados por el sistema de geodésicas.

Un punto en el eje de rotación de tu cubo bien puede moverse a lo largo de una geodésica, pero existe, en la RG, una noción "absoluta" de rotación en la medida en que se podría detectar la rotación con respecto al sistema de varillas que he descrito anteriormente. Así pues, todos los puntos de los ejes de rotación siguen geodésicas, pero las moléculas de agua alejadas del eje siguen hélices relativas a las geodésicas barridas por cada punto de nuestras varillas de medición.

Piensa en la RG como una "nota de aplicación" que acompaña a las leyes primera y segunda de Newton y Euler. La RG nos dice cuáles son los marcos de inercia: es decir la definición de cuándo y dónde se aplica la primera ley de Newton y su análogo rotacional. A continuación, aplicamos las segundas leyes de Newton y Euler (localmente) para deducir todo el movimiento relativo a estos marcos inerciales: la aceleración es entonces lo que medimos con un acelerómetro. Ya sea que nos encontremos inmóviles con respecto a la superficie de la Tierra o que aceleremos uniformemente en el espacio profundo a $g$ metros por segundo tiene la misma descripción física desde este punto de vista. Obsérvese que el espaciotiempo tiene que ser localmente plano, es decir, minkowskiano en la escala de la descripción del movimiento acelerado, para que esta forma de pensar sea aplicable (como lo será si consideramos "trozos" o "etapas" del movimiento lo suficientemente pequeños): podemos pensar que esta descripción se aplica en el espacio tangente a la variedad del espaciotiempo. En general, tendríamos que actualizar nuestro marco de inercia y volver a aplicar este pensamiento repetidamente si seguimos un movimiento acelerado a lo largo de escalas más largas en el espaciotiempo: esto es lo que quería decir con "aplicar localmente".

Aunque resulte extraño, si dos naves espaciales se encontraran en el espacio profundo y estuvieran girando una respecto a la otra, desde un punto de vista totalmente cinemático, no podríamos decir cuál está girando y cuál no. Pero la RG no está de acuerdo con esto: una de las naves espaciales puede estar quieta respecto a las coordenadas de Lie y, por tanto, los que van en ella no sentirán una fuerza y estarán en caída libre con su almuerzo y su café flotando a su alrededor. La aceleración en la RG es, en el sentido (OMI el único que importa) de lo que nos dirá un sistema de acelerómetros, absoluta. Véase La maravillosa respuesta de Mark Eichenlaub aquí para más. Creo que esto es probablemente lo que La respuesta de Lionel de los agujeros de los conejos y el principio de Mach - pero, oye, tú debe sigue a Alice, bebe todas las botellas que encuentres y búscalo. El principio de Mach, según tengo entendido, va en contra de la relatividad general de Einstein y recientemente se ha descubierto que contradice los resultados observados de Sonda de gravedad B (ver página Wiki) por lo que ahora está falsificada donde la RG no lo está, pero es completamente interesante desde una perspectiva histórica y desde el punto de vista de entrar en la cabeza de una persona muy brillante y de pensamiento original (Ernst Mach).

Curiosamente, la condición de arrastre de Lie es otra forma de decir que la torsión es nula en la RG: otras teorías gravitacionales (de las que no sé nada) como la teoría de Einstein-Cartan tienen torsión no nula en algunas condiciones aunque creo que en el espacio "vacío" profundo sigue sin haber torsión.

Answer 2

En primer lugar, su afirmación " porque las pseudofuerzas pueden interpretarse (localmente) como campos gravitatorios y, por lo tanto, es imposible que el experimentador local decida si se está moviendo, o siendo acelerado, o inmóvil. " es incorrecto.

Voy a parafrasear "Gravitación" de MTW, sección 13.6, página 327:

Tenemos a un hombre muy pequeño dentro de una cabina muy pequeña y sellada, con aparatos atornillados al suelo y a las paredes. Hay una cuadrícula x,y,z marcada en las paredes y el suelo. Su aparato consiste en relojes, acelerómetros y giroscopios (como tus cubos). Él mismo no está atornillado a las paredes ni al suelo. Confinado en su cabina, no puede saber si el espacio es curvo o plano o si actúa sobre él algún campo de fuerza no gravitatorio.

Ahora tomemos el tapiz del espacio-tiempo dotado de una métrica (debe tener una métrica). Si la métrica es totalmente conocida, lo es para todo el espacio y el tiempo. En cada evento, coloquemos hombres pequeños en cabinas pequeñas como las anteriores. Permitamos también que varias cabinas habiten los mismos puntos del espacio-tiempo (recordemos que son cabinas muy pequeñas).

Ahora, dado un hombre y una cabina en un punto, hay 3 posibles situaciones:

1. Si los acelerómetros dan un valor finito, su cabina se está acelerando con respecto a los marcos de referencia Lorentz no inerciales alrededor de su evento y ya no flotará en la cabina.
2. Si los giroscopios de la pared se mueven con respecto a la pared, entonces su marco está girando con respecto a los marcos inerciales de Lorentz sobre su evento y se encontrará que ya no está flotando en la cabina y que en su lugar está vomitando.
3. Si no está vomitando ni pegado a las paredes o al suelo, su marco es inercial con respecto a otros marcos inerciales de Lorentz sobre su evento.

Todas las cabinas de (3) constituyen el conjunto de todos los fotogramas inmóviles del espacio-tiempo dado.

Sólo los efectos no gravitacionales pueden dar lugar a los escenarios (1) y (2), porque sin ellos, todas las cabinas serían de caída libre, no giratorias (lo que permitiría a los hombrecillos flotar y no vomitar). Los efectos no gravitacionales que se anulan en el evento también hacen que se produzca (3) (pero eso es idéntico a la ausencia de efectos no gravitacionales).

Answer 3

Todas las respuestas anteriores son correctas. Permítanme añadir algo de matemáticas. Mira la ecuación de Coordenadas normales de Fermi Por ejemplo, en el artículo original de Misner y Manasse [ 1 ] o aquí . Estas coordenadas proporcionan un ejemplo de marco de Lorentz local, es decir, un marco de referencia con una métrica localmente plana. Como puedes encontrar en estos artículos, las coordenadas de Fermi son válidas siempre que se den las siguientes condiciones de "localidad": $$r\ll r_0\equiv \min\left\{{1\over |\boldsymbol{G}|},{1\over |\boldsymbol{\omega}|},{1\over |\overset{0}{R}_{\mu\nu\rho\sigma}|^{1/2}},{|\overset{0}{R}_{\mu\nu\rho\sigma}|\over |\partial_i\overset{0}{R}_{\mu\nu\rho\sigma}|}\right\}. $$ La primera condición establece que las coordenadas locales son válidas para distancias espaciales $r=|\delta_{ij}x^ix^j|^{1/2}$ más pequeñas que las escalas de longitud típicas de los cuatro aceleraciones $G^\mu$ del observador no inercial. Del mismo modo, el segundo se refiere a las escalas típicas del cuatro rotaciones $\omega^\mu$ medida por los giroscopios. Las dos últimas condiciones determinan el tamaño de la región en la que el espacio puede considerarse plano a pesar de un observador que gira o acelera mediante fuerzas no gravitatorias.

El cubo de agua giratorio y las mediciones del CMB son dos experimentos no locales, según las limitaciones anteriores. En el primero, el radio de la circunferencia del cubo giratorio ( $|\boldsymbol{\omega}|\sim 1$ metro) es igual a la escala de longitud de tu experimento (¡excepto si eres una hormiga en el cubo!). En este último caso, el experimento es sensible a la curvatura del espaciotiempo hacia el centro de la Vía Láctea, cuya longitud es más corta que la del Universo.

Answer 4

La RG trata todos los marcos de referencia de caída libre como equivalentes. Además, un marco de referencia es algo local, como has dicho. Un cubo giratorio lleno de agua es algo no local.

De todos modos, puedes adentrarte en una madriguera muy profunda buscando el principio de Mach, pero no estoy seguro de aconsejarlo (creo que puede ser anticuado).

Por último, suponiendo que el universo sea infinito, o al menos, que sea isótropo y relativamente homogéneo en una escala suficientemente grande, no tiene por qué haber un centro del universo. Las observaciones actuales parecen sugerir que cada punto del espacio se aleja de todos los demás a la misma velocidad. Así que, ignorando las fluctuaciones locales, podríamos decir que a cierta escala las cosas están localmente "en reposo" del mismo modo que los puntos de la superficie de un cilindro que se infla pueden estar "en reposo". Pero supongamos que ponemos el cilindro a girar. En la superficie bidimensional de este cilindro, no habría forma de detectar este movimiento. Sólo podemos medir nuestro movimiento en relación con otros puntos del cilindro.

Del mismo modo, sólo podemos medir nuestro movimiento en relación con las estrellas/materia distantes, pero, en lo que respecta a la RG, no podemos medir nuestro movimiento en relación con el espacio mismo. Podemos imaginar un marco de referencia en el que todo el contenido de materia del universo se mueve 1 m/s hacia la izquierda. Si la física prefiriera un marco de referencia, podríamos detectar esto, por ejemplo, observando que la luz viaja más rápido en una dirección que en otra (como en las teorías de tipo etéreo). Creo que esto es lo que se entiende por marcos de referencia preferidos.