¿Qué es un colector?

Question

Ahora siempre nos encontramos con la definición de un colector desde un punto de vista matemático donde es un espacio topológico junto con una familia de conjuntos abiertos que lo cubren y la misma sinfonía de siempre. Mi pregunta es, a partir de tu propia experiencia y de lo que has aprendido y enseñado hasta ahora, ¿cómo podemos obtener una comprensión más profunda de lo que es un Manifold? ¿Tal vez desde un punto de vista más físico?

Answer 1

Respuesta de G. Bergeron es bueno y da buenos consejos. Sin embargo, al enfrentarse al concepto de colector moderno puede ayudarle a conocer algo de la historia detrás de la idea, para que pueda ver que algunas de las partes más aparentemente abstractas no surgieron de la nada y enfatizar Cita de G. Bergeron

La rigurosa definición matemática no está ahí para molestar u ofuscar.

La noción de modernidad fue totalmente terminada en la década de 1940 por Hassler Whitney. Antes de eso, había dos nociones de colector flotando por ahí, que los matemáticos sospechaban que en última instancia describían la misma noción en algún nivel, pero le tocó a Hassler Whitney demostrarlo. En primer lugar, había una más obvia, menos abstracta, de un subconjunto suavemente restringido de $\mathbb{R}^N$ por lo que se pensaba en un objeto geométrico como incrustado en un espacio euclidiano de mayor dimensión: una esfera 2 definida por la restricción $x^2+y^2+z^2=1$ por ejemplo. Así, en lugar de una colección de parches (gráficos), tenemos una especie de supercarta global que es una restricción como la que acabo de citar. Luego está la definición moderna: Me encanta el resumen conciso e intuitivo del usuario Garyp:

Yo utilizo esto: un colector es un espacio que es localmente euclidiano, pero que globalmente puede ser complicado, por ejemplo, un toroide o una esfera, etc.

Esto es todo lo que hay que hacer: sólo hay un detalle de fondo con el que hay que familiarizarse y son los detalles sobre cómo los mapas de transición pegan los parches es decir los conjuntos abiertos + los mapas de coordenadas que definen el morfismo local - (homeo-, difeo-, difeo- analítico suave- dependiendo de qué tipo - topológico, diferencial, suave, analítico ....- de colector estemos tratando) juntos. Aunque puedan parecer densas y abstractas, tienen un propósito sencillo y fácil de enunciar: asegurarse de que el "pegado" es "sin fisuras" es decir que las afirmaciones que demuestre o las declaraciones verdaderas que haga con un mapa de coordenadas son verdaderas con cualquier otro mapa de coordenadas que se aplique a una región superpuesta y por el contrario . Personalmente, también me gusta pensar en el mecanismo de superposición ( es decir por qué un colector es una colección de parches superpuestos en lugar de un con particiones set) como una abstracción de una noción física concreta -y copernicana-: ningún marino espera toparse con un muro en medio del océano sólo porque su carta de navegación se haya agotado. Los bordes de la carta son un artefacto de nuestro descripción no el objeto matemático real. Por lo tanto, siempre debería haber una descripción igualmente buena sin pared en el lugar en cuestión. Además, existe la practicidad matemática de querer que cada punto del colector sea dentro de y no en el borde de algún conjunto, particularmente si estás haciendo cálculo o geometría diferencial. Quieres una definición única, sin fisuras: no quieres tener que lidiar con límites unilaterales en los bordes de una partición.

Sospecho que la noción moderna recibió al menos un impulso de la física (clásica al menos): una vez que llegó la RG con sus nociones fundamentales de localidad, realmente hay que cambiar a una definición local. En principio, uno podría imaginarse que la RG se hace sobre algún objeto incrustado en un espacio euclidiano de mayor dimensión, pero piensa en toda la información redundante y no física con la que tendrías que lidiar. La incrustación define el colector como una relación entre éste y su complemento en el espacio de mayor dimensión, y este último, por lo que sabemos, no tiene ninguna interpretación física. La RG ya tiene suficiente redundancia con la que lidiar y una teoría incrustada en el espacio euclidiano probablemente sería totalmente intratable. Sería, como mínimo, mucho más complicada.

Las dos nociones históricas de múltiple fueron unidas por la Teorema de incrustación de Whitney La segunda, más interesante desde el punto de vista de los partidarios de la RG, es la de la "vida". El segundo, más interesante desde el punto de vista de la RG, es el Teorema de incrustación de Nash . Ambos demuestran que podemos incrustar cualquier colector definido por la noción moderna en un espacio euclidiano de mayor dimensión (o espacio de Minkowski, en el caso de un colector pseudo-riemanniano como el descrito por GTR). El teorema de Nash demuestra que podemos hacerlo isométricamente . Sin embargo, los aspectos prácticos de estos poderosos teoremas son formidables y espinosos: es posible que tenga que utilizar un $2 m$ espacio euclidiano / Minkowski dimensional a Whitney-embed un $m$ colector dimensional en. El teorema de Nash es "aún peor": un $m$ colector dimensional puede necesitar hasta $m(3m+11)/2$ dimensiones euclidianas si es compacto. Si no es compacta, la paja es realmente corta, ya que es posible que tenga que ir a $m(m+1)(3m+11)/2$ Dimensiones euclidianas. Se trata de límites saturables: se puede tener suerte en casos especiales y necesitar menos.

Answer 2

Un colector es ante todo un objeto matemático. Como tal, cualquier comprensión más profunda de un colector per se se obtendrá de un estudio matemático riguroso del objeto. Desde el punto de vista de la física, los colectores pueden utilizarse para modelar realidades sustancialmente diferentes: Un espacio de fase puede ser un colector, el universo puede ser un colector, etc. y a menudo los colectores vendrán con una estructura adicional considerable. Por tanto, la física no es el lugar adecuado para comprender un colector por sí mismo.

La definición matemática rigurosa no está ahí para molestar u ofuscar, sino para garantizar que el objeto esté bien definido y tenga una estructura también bien definida, de la que podamos derivar teoremas e intuiciones. La conexión con la física se produce cuando un objeto abstracto matemático concreto refleja la estructura de los conceptos físicos que se examinan. A partir de ahí, construimos un modelo utilizando estos objetos matemáticos para representar un concepto físico en el modelo matemático.

Dicho esto, lo más parecido a una respuesta que puedo dar a tu pregunta es que los colectores son los objetos matemáticos que representan la noción intuitiva de los espacios geométricos. Un espacio topológico es demasiado débil en ese sentido y va un poco más allá de la intuición del sentido común, mientras que un colector liso es el objeto correcto cuando se habla de la idea de un espacio que se querría parametrizar con coordenadas (al menos localmente), pero incluso entonces, un estudio riguroso te muestra que no se puede trabajar con estas ideas de forma demasiado ingenua.

Answer 3

Como otros han mencionado, un colector es una cosa matemática que a menudo tiene un significado físico. Como has etiquetado esto como geometría diferencial, asumiré que estás hablando de suave colectores.

La idea esencial es que, si eres una persona minúscula que vive en el múltiple, no podrías distinguir entre tu entorno y un espacio euclidiano. Lo bueno de esto es que, como un colector se parece a un espacio euclidiano localmente podemos introducir coordenadas localmente.

Formalmente, una variedad suave es un par $(M,\mathscr{A}_M)$ (aunque solemos omitir la mención en $\mathscr{A}_M$ ) tal que $M$ es un espacio Hausdorff localmente euclidiano de segundo conteo (Esto sólo significa que el espacio topológico subyacente es relativamente agradable para trabajar incluso sin estructura de colector, es decir, estas condiciones implican $M$ es metrizable, paracompacto, etc.) y $\mathscr{A}_M$ es una colección máxima de homeomorfismos $\{\varphi_\alpha:U_\alpha\to\mathbb{R}^{n_\alpha}\}$ , donde $U_\alpha\subseteq M$ y $n_\alpha\in\mathbb{Z}$ para cada $\alpha$ , de tal manera que, siempre que $U_\alpha\cap U_\beta\neq\emptyset$ , $$\phi_\beta\circ\phi_\alpha^{-1}|_{\phi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)}$$ y $$\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}|_{\phi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)}$$ son mapas suaves en el sentido habitual. Cada elemento de $\mathscr{A}_M$ se llama gráfico y $\mathscr{A}_M$ se llama a sí mismo un atlas .

Como puede adivinar, un gráfico actúa exactamente igual que un gráfico en el sentido habitual: toma una porción del colector y la pone en coordenadas. En concreto, si $x:U\to\mathbb{R}^n$ , entonces un punto $p\in U$ puede escribirse en coordenadas como $x(p)=(x^1(p),x^2(p),\,\dots\,,x^n(p))$ . En $\mathbb{R}^n$ Normalmente, tomamos $U=\mathbb{R}^n$ y $x=\operatorname{id}_{\mathbb{R}^n}$ .

Si quieres intuición, intenta trabajar con espacios euclidianos y esferas. Aparte de los colectores contables (discretos), son los más sencillos de trabajar. En definitiva, un colector liso es esencialmente "un espacio localmente agradable en el que podemos hacer cálculos".

Answer 4

Una imagen intuitiva y que sólo requiere unas líneas es que se trata de un espacio localmente plano, es decir, como un espacio euclidiano.

Esto es lo que necesitamos para hacer el cálculo en el colector; y una de las razones por las que se inventó.

En realidad necesitamos más; si los mapas de transición (entre gráficos) son suaves, tenemos una variedad suave; si son continuos, entonces tenemos una variedad topológica.

También necesitamos menos, para excluir los ejemplos patológicos; por eso se aplica la segunda contabilización, para eliminar la larga cola y hausdorffness, para eliminar el línea con dos orígenes .

Se podría contrastar con una noción diferente de espacio, por ejemplo un esquema (de la geometría algebraica) donde el espacio es localmente afín (lo que significa que se parece a un anillo cuando se considera como un espacio); esto significa que localmente, el espacio difiere de un punto a otro.

Answer 5

Como han dicho Bronstein y otros en Aprendizaje profundo geométrico: más allá de los datos euclidianos ( Lea el artículo aquí )

A grandes rasgos, un colector es un espacio localmente euclidiano. Uno de los ejemplos más simples es una superficie esférica que modela nuestro planeta: alrededor de un alrededor de un punto, parece ser plana, lo que ha llevado a generaciones de personas a creer en la planitud de la Tierra. Desde el punto de vista formal, una (diferenciable) d-dimensional X es un espacio topológico en el que cada punto x tiene una vecindad que es topológicamente equivalente (homeomorfo) a un espacio euclidiano d-dimensional, llamado espacio tangente tangente.