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Cubierta universal de $\mathbb R^2\setminus\{0\}$

Sabemos que una condición necesaria y suficiente para un camino conectado localmente trayectoria-conectado espacio tener una cobertura universal es que es semi-locally simplemente conectado.

Ahora desde $\mathbb R^2\setminus\{0\}$ es este espacio, debe tener una cobertura universal. Sin embargo no puedo ver lo que realmente es la cubierta universal de $\mathbb R^2\setminus\{0\}$. ¿Alguien me puede ayudar?

Gracias.

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Consejo: Piensa en el mapa $z\mapsto e^z$ $\Bbb{C}$ $\Bbb{C}\setminus\{0\}$. Su derivado es también $e^z$, que es siempre distinto de cero. Por lo tanto la asignación es conformal en todas partes, es decir, un Homeomorfismo local.

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Andrew Puntos 376

Una (de muchas) de las posibilidades a considerar es que para todos infinito cíclico cubre de niza $X$ es retroceder la universalización de la cobertura $\mathbb R \to S^1$ algunos $f: X \to S^1$. En el buen ajuste de $f^{-1}(1)$ (dejar 1 ser un habitual de valor) es una 1-codimensional submanifold y el infinito cíclica de la cubierta se obtiene al cortar a lo largo de esa submanifold y pegado $\mathbb Z$-muchos ejemplares juntos.

En el caso de que el mapa es la proyección de la $X=\mathbb R^2 -0 \to S^1$. Y el submanifold es un rayo de un punto de $\mathbb R_+ x$, canónicamente $x=1$. Así que tome $\sqcup_{\mathbb Z} ( \mathbb R^2 - \mathbb R_{\geq 0})$ y el de la cruz-cola a lo largo de un límite de componente $\mathbb R _{>0}$.

Para más info cf. por ejemplo, mi respuesta aquí.

Edit: a explicitamente escribir lo que escribí más arriba, usted puede escribir $$\mathbb R^2 -0 = \mathbb R_{>0} \times S^1 \stackrel{p_2} \to S^1,$$ donde la extracción se hace evidente: $$\begin{array}{c}p^*(\mathbb R) = \mathbb R_{>0} \times \overbrace{id^*\mathbb R}^{\mathbb R} &\to &\mathbb R\\ \downarrow && \downarrow \\ \mathbb R_{>0}\times S^1 &\stackrel {p} \to & S^1\end{array} $$ y la cubierta mapa está dando por $id \times \pi$ donde $\pi:\mathbb R \to S^1$. Mediante el isomorfismo $\mathbb R_{>0}\cong \mathbb R$ usted conseguir la universalización de la cobertura:

$$ \mathbb R^2 \cong \qquad\mathbb R_{>0} \times \mathbb R \stackrel {1\times\pi} \longrightarrow \mathbb R_{>0}\times S^1 \qquad \cong \mathbb R^2 -0.$$

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