convergencia uniforme de series de funciones

Question

Demostrar que $f(x)=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \dfrac{e^x \sin (n^2x)}{n^2}$ es convergente para todos los $x \in \mathbb{R}$ y que su suma $f(x)$ es una función continua en a $\mathbb{R}$.

Este es mi tentativa para resolver el problema: $f(x)= e^x \sum {\frac{\sin (n^2x)}{n^2}}$. Así que, para demostrar que $f(x)$ es convergente, sólo tengo que demostrar que $\sum {\frac{\sin(n^2x)}{n^2}}$ es convergente. desde que el valor absoluto de a $\frac {\sin (n^2x)}{n^2} \le \frac{1}{n^2}$ porque el valor absoluto de a $\sin (n^2x)$ $\le 1$ y el de la serie: $\sum {\frac{1}{n^2}}$ es convergente, entonces la $M$-prueba de la serie de $\sum {\frac{\sin (n^2x)}{n^2}}$ es uniformemente convergente y por lo tanto $f(x)$ es continua en a $\mathbb{R}$.

Por favor, hágamelo saber si mi solución es cierto? También, tengo que distinguir los dos casos donde la $x=0$$x \ne 0$? ¿Tengo que demostrar que $f$ es continua en a $x=0$ por separado?

Answer 1

Estás muy cerca. Menor de notas:

• No, usted no tiene que considerar $x=0$ como un caso especial, porque a $|\sin(0)|\leq 1$ es cierto.
• $f(x)= e^x \sum(\sin(n^2x)/n^2)$ es cierto, pero tenga en cuenta ahora que la serie es diferente. Le dio un argumento de por qué la serie aquí converge uniformemente, pero tenga en cuenta que esto no implica que la serie inicial definición de $f(x)$ converge uniformemente (y no).
• En relación con el último punto, que técnicamente nunca se refirió a ¿por qué el original de la serie converge para todos los $x$. Esto se desprende de la convergencia absoluta de la prueba, o del trabajo que ya hizo y que el hecho de que si $\sum a_n$ converge y $b\in \mathbb R$, $\sum ba_n$ converge a $b\sum a_n$. (En otras palabras, usted podría hacer un poco más explícitos algunos de los trabajos que ya se hizo. Cuánto detalle a incluir es en gran medida una cuestión de gusto.)
• Otros detalles que se pueden mencionar para terminar esto (tal vez intencionalmente omitido en su pregunta, porque ellos son sencillos):
  • Para cada $n$, $x\mapsto \sin(n^2x)/n^2$ es continuo, por lo que se puede concluir que la uniformemente convergente la serie de $\sum\sin(n^2 x)/n^2$ es continua.
  • $x\mapsto e^x$ es continua.
  • El producto de 2 funciones continuas es continua.