Este problema sí puede resolverse mediante el recuento de Polya. Primero coloca las ocho cuentas rojas a lo largo de un círculo, dejando algún espacio entre ellas para las cuentas azules. Ahora coloca dos cuentas azules entre cada par de cuentas rojas adyacentes, así como un espacio vacío que se llenará más tarde. Esto deja $32-2*8 = 16$ cuentas azules. Ahora las ranuras vacías pueden ser llenadas por cualquier número de cuentas azules siempre que haya $16$ cuentas azules en total. Esto significa que las cuentas azules que entran en las ocho ranuras tienen función generadora $$ f(z) = \frac{1}{1-z}.$$ Lo que tenemos de hecho es que la función generadora es $$g(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots z^{15} + z^{16}$$ pero veremos que podemos utilizar $f(z)$ en lugar de $g(z)$ sin contar de más.
Ahora las ocho ranuras se permutan por $C_8$ el grupo cíclico de orden $8.$ El índice de ciclo del grupo cíclico $C_n$ es $$ Z(C_n) = \frac{1}{n} \sum_{d|n} \varphi(d) a_d^{n/d}$$ para que $Z(C_8)$ es $$ Z(C_8) = \frac{1}{8} \left(a_1^8 + a_2^4 + 2 a_4^2 + 4 a_8 \right).$$ Se deduce que el número de órbitas o configuraciones de collar viene dado por $$ [z^{16}] Z(C_8)_{a_1=f(z); a_2=f(z^2); a_4=f(z^4); a_8=f(z^8)}$$ que es $$ [z^{16}] \frac{1}{8} \left(\frac{1}{(1-z)^8} + \frac{1}{(1-z^2)^4} + 2 \frac{1}{(1-z^4)^2} + 4 \frac{1}{(1-z^8)} \right).$$ Por último, recuerde que $$ [z^n] \frac{1}{(1-z)^q} = \binom{n+q-1}{q-1}$$ para que el valor del coeficiente de $z^{16}$ es $$\frac{1}{8} \left( \binom{16+7}{7} +\binom{8+3}{3} +2\binom{4+1}{1} +4\binom{2+0}{0}\right) = 30667.$$ En el caso de que en lugar del grupo cíclico $C_n$ el grupo diédrico $D_n$ actúa sobre las ranuras del collar (es decir, la simetría incluye las reflexiones) el índice de ciclo viene dado por $$ Z(D_n) = \frac{1}{2} Z(C_n) + \frac{1}{4} \left( a_1^2 a_2^{(n-2)/2} + a_2^{n/2}\right)$$ para que la respuesta sea $$ \frac{1}{2} 30667 + \frac{1}{4} [z^{16}] \left( \frac{1}{(1-z)^2}\frac{1}{(1-z^2)^3} + \frac{1}{(1-z^2)^4}\right) = 15581.$$
